LineareAlgebra.Abbildungen02 History

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Changed line 25 from:
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{m^2-1}{1+m^2}\end{array}\right)=
to:
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&\frac{m^2-1}{1+m^2}\end{array}\right)=
Changed line 25 from:
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{array}\right)=
to:
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{m^2-1}{1+m^2}\end{array}\right)=
October 26, 2012, at 08:17 AM by 79.219.84.144 -
Changed line 24 from:
S_m\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)=
to:
S_m=\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)=
Changed line 33 from:
#{$\left(\begin{array}{cc} \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=2x$}, d.h. {$m=2$}
to:
#{$\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=2x$}, d.h. {$m=2$}
January 25, 2010, at 09:30 PM by 84.173.72.200 -
Added line 33:
#{$\left(\begin{array}{cc} \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=2x$}, d.h. {$m=2$}
January 25, 2010, at 09:26 PM by 84.173.72.200 -
Changed lines 33-35 from:
#{$\left(\begin{array}{cc} -1&0\\0&1\end{array}\right)$}  Spiegelung an der {$y$}-Achse. Dies kann man mit {$\lim_{m\rightarrow\infty}S_m$} bestimmen oder man charakterisiert die Spiegelgerade durch den Winkel mit der {$x-$}Achse statt durch die Steigung (siehe [[Aufgaben06|Aufgabe 3]]).

to:
#{$\left(\begin{array}{cc} -1&0\\0&1\end{array}\right)$}  Spiegelung an der {$y$}-Achse. Dies kann man mit {$\lim_{m\rightarrow\infty}S_m$} bestimmen oder man charakterisiert die Spiegelgerade durch den Winkel mit der {$x$}-Achse statt durch die Steigung (siehe [[Aufgaben06|Aufgabe 3]]).

January 25, 2010, at 09:19 PM by 84.173.72.200 -
Changed line 24 from:
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)=
to:
S_m\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)=
Changed lines 31-35 from:
#{$\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&-1\end{array}\right)$} Spiegelung an der {$x$}-Achse {$(m=0)$}
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=x$} {$(m=1)$}
#{$\left(\begin{array}{cc} -1&0\\0&1\end{array}\right)$}  Spiegelung an der {$y$}-Achse

to:
#{$\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&-1\end{array}\right)$} Spiegelung an der {$x$}-Achse, d.h. {$m=0$}
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=x$}, d.h. {$m=1$}
#{$\left(\begin{array}{cc} -1&0\\0&1\end{array}\right)$}  Spiegelung an der {$y$}-Achse. Dies kann man mit {$\lim_{m\rightarrow\infty}S_m$} bestimmen oder man charakterisiert die Spiegelgerade durch den Winkel mit der {$x-$}Achse statt durch die Steigung (siehe [[Aufgaben06|Aufgabe 3]]).

January 25, 2010, at 09:13 PM by 84.173.72.200 -
Added lines 30-32:

#{$\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&-1\end{array}\right)$} Spiegelung an der {$x$}-Achse {$(m=0)$}
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=x$} {$(m=1)$}
Changed lines 34-38 from:
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der $x$-Achse
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=x$}


to:

January 25, 2010, at 09:07 PM by 84.173.72.200 -
Added lines 29-35:
'''Beispiele:'''
#{$\left(\begin{array}{cc} -1&0\\0&1\end{array}\right)$}  Spiegelung an der {$y$}-Achse
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der $x$-Achse
#{$\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)$} Spiegelung an der Geraden {$y=x$}


January 25, 2010, at 08:57 PM by 84.173.72.200 -
Changed line 1 from:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen0103|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen03|>>]]
Changed line 29 from:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen0103|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen03|>>]]
January 25, 2010, at 06:41 PM by 84.173.120.234 -
Changed lines 5-6 from:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$} ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$} und {$Q(m|-1)$}. Der Punkt {$P$} liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$} ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.
to:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$} ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$} und {$Q(m|-1)$}. Der Punkt {$P$} liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bildpunkt von {$Q$} ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.
January 23, 2010, at 01:12 AM by 84.173.105.130 -
Changed lines 2-4 from:
!!Spiegelmatrizen

to:
!!Spiegelungen an Ursprungsgeraden

January 23, 2010, at 01:11 AM by 84.173.105.130 -
Added line 4:
Changed lines 23-24 from:

to:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{array}\right)=
\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc} 1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{array}\right)
$$

January 23, 2010, at 01:09 AM by 84.173.105.130 -
Changed lines 6-7 from:
%center% %width=300px%Attach:abbildungen02_1.png
to:
%center% %width=300px%Attach:abbildungen02_2.png
January 23, 2010, at 01:08 AM by 84.173.105.130 -
Changed lines 6-7 from:
%center% Attach:abbildungen02_1.png
to:
%center% %width=300px%Attach:abbildungen02_1.png
January 23, 2010, at 01:07 AM by 84.173.105.130 -
Changed lines 4-7 from:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$} ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$} und {$Q(m|-1)$}. {$P$} liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$} ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.


to:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$} ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$} und {$Q(m|-1)$}. Der Punkt {$P$} liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$} ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.

%center% Attach:abbildungen02_1.png

Dies führt zu zwei Bedingungen an die gesuchte Matrix, nämlich:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\m\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 1\\m\end{array}\right)\quad\mbox{und}\quad
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} m\\-1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} -m\\1\end{array}\right)
$$
Damit kann man die Koeffizienten der Matrix als Lösung der folgenden Gleichungen bestimmen:
$$
\begin{array}{ccccc} a&+&bm&=&1\\c&+&dm&=&m\end{array} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad
\begin{array}{ccccc} am&-&b&=&-m\\cm&-&d&=&1\end{array}
$$
Löst man diese Gleichungen, so erhält man die gesuchte Spiegelmatrix in Abhängigkeit von der Steigung {$m$}:



January 23, 2010, at 01:02 AM by 84.173.105.130 -
Changed line 1 from:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen0102 [[Abbildungen0103|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen0103|>>]]
Changed lines 4-8 from:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$}\/ ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$}\/ und {$Q(m|-1)$}. {$P$}\/ liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$}\/ ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.



%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen0102 [[Abbildungen0103|>>]]
to:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$} ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$} und {$Q(m|-1)$}. {$P$} liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$} ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.



%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen02 [[Abbildungen0103|>>]]
January 23, 2010, at 01:01 AM by 84.173.105.130 -
Changed lines 4-7 from:



to:
Um die Matrix zu finden, die eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Steigung {$m$}\/ ist, betrachtet man zwei spezielle Punkte, nämlich {$P(1|m)$}\/ und {$Q(m|-1)$}. {$P$}\/ liegt auf der Spiegelachse und wird durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet. Der Bilpunkt von {$Q$}\/ ist offenbar {$Q'(-m|1)$}, denn die Steigung der Normalen ist {$-\frac{1}{m}$}.


January 23, 2010, at 12:58 AM by 84.173.105.130 -
Added lines 1-8:
%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen0102 [[Abbildungen0103|>>]]
!!Spiegelmatrizen





%right% [[Abbildungen01|<<]] Abbildungen0102 [[Abbildungen0103|>>]]