LineareAlgebra.Abbildungen04 History
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Eine Matrix der Form
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Eine Abbildung mit einer Matrix der Form
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Eine Strecke, die parallel zur {$y$}-Achse ist, wird um einen charakteistischen Winkel "zur Seite gedrückt".
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to:
Eine Strecke, die parallel zur {$y$}-Achse ist, wird um einen charakteristischen Winkel "zur Seite gedrückt".
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Für den Punkt {$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right)$} ergibt sich
$$
\left(\begin{array}{c} \tan(\varphi)\\1\end{array}\right)=\vec{p}'=M\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} m\\1\end{array}\right)
$$
Also gilt für den Scherwinkel:
$$ \tan(\varphi)=m $$
%right% [[Abbildungen03|<<]] Abbildungen04 [[Abbildungen05|>>]]
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Für den Punkt {$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right)$} ergibt sich
$$
\left(\begin{array}{c} \tan(\varphi)\\1\end{array}\right)=\vec{p}'=M\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} m\\1\end{array}\right)
$$
Also gilt für den Scherwinkel:
$$ \tan(\varphi)=m $$
%right% [[Abbildungen03|<<]] Abbildungen04 [[Abbildungen05|>>]]
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Eine Strecke, die parallel zur {$y$}-Achse ist, wird um einen charakteistischen Winkel "zur Seite gedrückt".
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Eine Strecke, die parallel zur {$y$}-Achse ist, wird um einen charakteistischen Winkel "zur Seite gedrückt".
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lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
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heißt '''Scherung''' (entlang der {$x$}-Achse). Sie lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
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$$
to:
$$
'''Beispiel:''' Die Matrix {$M=\left(\begin{array}{cc} 1&2\\0&1\end{array}\right)$} bildet in der folgenden Art und Weise ab:
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'''Beispiel:''' Die Matrix {$M=\left(\begin{array}{cc} 1&2\\0&1\end{array}\right)$} bildet in der folgenden Art und Weise ab:
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lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{cc} x&y\\0&1\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
to:
lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
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%right% [[Abbildungen03|<<]] Abbildungen04 [[Abbildungen05|>>]]
!!Scherungen
Eine Matrix der Form
$$
\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)
$$
lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{cc} x&y\\0&1\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
$$
\vec{p}'=\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+my\\y\end{array}\right)
$$
!!Scherungen
Eine Matrix der Form
$$
\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)
$$
lässt die {$y$}-Koordinate eines Punktes unverändert und addiert zur {$x$}-Koordinate einen Betrag, der davon abhängt, wie weit der Punkt von der {$x$}-Achse entfernt ist. Für {$\vec{p}=\left(\begin{array}{cc} x&y\\0&1\end{array}\right)$} ergibt sich als Bild
$$
\vec{p}'=\left(\begin{array}{cc} 1&m\\0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+my\\y\end{array}\right)
$$