LineareAlgebra.Abbildungen09 History
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$$ L=\left{\vec{x}=\left(x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right}
to:
$$ L=\left\{ \vec{x}=\left( x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right\}
Changed lines 57-60 from:
to:
Löst man dieses LGS, so erhält man unendlich viele Lösungen:
$$ L=\left{\vec{x}=\left(x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right}
$$
Dies sind (wie erwartet) die Punkte der Spiegelachse aus Beispiel 1.
$$ L=\left{\vec{x}=\left(x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right}
$$
Dies sind (wie erwartet) die Punkte der Spiegelachse aus Beispiel 1.
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%right% [[Längen und Winkel|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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%right% [[Abbildungen08|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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%right% [[Längen und Winkel|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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%right% [[Abbildungen08|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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%right% [[Abbildungen08|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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%right% [[Längen und Winkel|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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$$
to:
$$
%right% [[Längen und Winkel|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
%right% [[Längen und Winkel|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
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Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
to:
Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(1|0)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
Changed line 39 from:
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung {$m$}, wenn sie die Steigung {$-\frac{1}{m}$} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung {$-\frac{1}{2}$} hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen
to:
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung {$m$}, wenn sie die Steigung {$-\frac{1}{m}$} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung {$-2$} hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen
Changed lines 49-51 from:
Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert {$s=3{,}2-t$}. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden {$h$}. Im Allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für {$t=1{,}6$} ergibt sich ein Fixpunkt, denn dies ist der Schnittpunkt von {$h$} und {$g$}.
to:
Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert {$s=3{,}2-t$}. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden {$h$}, im allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für {$t=1{,}6=s$} ergibt sich der Fixpunkt {$\left(4{,}6\atop 1{,}8\right)$}, denn dies ist der Schnittpunkt von {$h$} und {$g$}.
Changed lines 45-50 from:
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
to:
$$=\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) $$
Nun bleibt noch zu zeigen, dass dieser Punkt auf der Geraden {$h$} liegt.
$$\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) = \left(3\atop 5\right)+s\cdot\left(1\atop -2\right)
Nun bleibt noch zu zeigen, dass dieser Punkt auf der Geraden {$h$} liegt.
$$\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) = \left(3\atop 5\right)+s\cdot\left(1\atop -2\right)
Added lines 49-54:
Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert {$s=3{,}2-t$}. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden {$h$}. Im Allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für {$t=1{,}6$} ergibt sich ein Fixpunkt, denn dies ist der Schnittpunkt von {$h$} und {$g$}.
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
$$
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
$$
Changed lines 41-44 from:
Man sieht an der Steigung, dass {$h\perp g$}
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz
to:
Man sieht an der Steigung, dass {$h\perp g$}. Lässt man die Abbildung auf einen Punkt der Geraden los, so ergibt sich:
Added lines 43-51:
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
$$
$$
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
$$
Changed lines 16-17 from:
'''Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade '''
to:
'''Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade ''' [[<<]]
Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
Changed lines 38-39 from:
to:
'''Beispiel 2: Eine senkrechte Gerade zur Spiegelachse einer Spiegelung ist keine Fixpunktgerade aber eine Fixgerade ''' [[<<]]
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung {$m$}, wenn sie die Steigung {$-\frac{1}{m}$} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung {$-\frac{1}{2}$} hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen
$$ h:\vec{x}=\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right) $$
Man sieht an der Steigung, dass {$h\perp g$}
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung {$m$}, wenn sie die Steigung {$-\frac{1}{m}$} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung {$-\frac{1}{2}$} hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen
$$ h:\vec{x}=\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right) $$
Man sieht an der Steigung, dass {$h\perp g$}
'''Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung''' [[<<]]
Hier verwendet man den Ansatz:
Changed line 17 from:
[[>>]]Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
to:
[[<<]]Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
Changed lines 16-17 from:
'''Beispiel:''' Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
to:
'''Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade '''
[[>>]]Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
[[>>]]Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
Changed line 40 from:
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x}
to:
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) =\vec{x}
Changed line 40 from:
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right) =\vec{x}
to:
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x}
Changed line 40 from:
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )=\vec{x}
to:
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right) =\vec{x}
Added lines 36-41:
Will man alle Fixpunkte einer Abbildung bestimmen, so verwendet man den Ansatz:
$$
left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )=\vec{x}
$$
Changed lines 34-36 from:
$$
to:
$$
Dies ist der ursprüngliche Punkt. Damit ist gezeigt, dass jeder Punkt der Spiegelachse ein Fixpunkt ist. Die Spiegelachse ist also eine Fixpunktgerade.
Dies ist der ursprüngliche Punkt. Damit ist gezeigt, dass jeder Punkt der Spiegelachse ein Fixpunkt ist. Die Spiegelachse ist also eine Fixpunktgerade.
Changed lines 30-33 from:
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
to:
=\left(0{,}6 \atop 0{,}8\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
$$
=\left(1 \atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
$$
$$
=\left(1 \atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
Added lines 26-31:
$$
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
$$
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
$$
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
Added lines 20-25:
Eine Parameterdarstellung der Spiegelgeraden ist etwa
$$ g:\vec{x}=\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) $$
Setzt man nun einen Punkt der Geraden in die Abbildung ein, so erhält man:
$$
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
$$ g:\vec{x}=\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) $$
Setzt man nun einen Punkt der Geraden in die Abbildung ein, so erhält man:
$$
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
Changed lines 13-19 from:
wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).
to:
wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).
'''Beispiel:''' Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
$$
\vec{x}\mapsto\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
'''Beispiel:''' Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$(0|1)$} und {$(3|1)$}. Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
$$
\vec{x}\mapsto\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
$$
Changed line 7 from:
$$ \vec{x}\mapstoA\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
to:
$$ \vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
Added lines 1-13:
%right% [[Abbildungen08|<<]] Abbildungen09 [[Abbildungen10|>>]]
!! Fixelemente von affinen Abbildungen
'''Definition:''' Ein Punkt {$\vec{p}$} heißt '''Fixpunkt''' der affinen Abbildung
$$ \vec{x}\mapstoA\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
wenn der Punkt auf sich selbst abgebildet wird, wenn also gilt
$$\vec{p}=A\cdot\vec{p}+\vec{v} $$
'''Definition:''' Eine Gerade {$g$} heißt '''Fixgerade''',
wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).
!! Fixelemente von affinen Abbildungen
'''Definition:''' Ein Punkt {$\vec{p}$} heißt '''Fixpunkt''' der affinen Abbildung
$$ \vec{x}\mapstoA\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
wenn der Punkt auf sich selbst abgebildet wird, wenn also gilt
$$\vec{p}=A\cdot\vec{p}+\vec{v} $$
'''Definition:''' Eine Gerade {$g$} heißt '''Fixgerade''',
wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).