LineareAlgebra.Abbildungen11 History

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Changed line 75 from:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{c} $$

to:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \vec{a} \perp \vec{c} $$

Changed line 75 from:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a} \perp \vec{c} $$

to:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{c} $$

Changed line 75 from:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a} \approx \vec{c} $$

to:

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a} \perp \vec{c} $$

January 30, 2014, at 08:29 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 49-50 from:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2 $$

to:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2

Changed line 57 from:

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n $$

to:

\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n

Changed line 66 from:

$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $$

to:

\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)

January 30, 2014, at 08:28 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 35-45 from:

$$ \left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .$$

$$ {\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ {a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ -2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

to:

\left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .

{\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)

{a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)

-2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)

a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)

January 30, 2014, at 08:26 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 29-31 from:

Zwischen den Längen und dem Winkel \alpha bestehn nun folgender Zusammenhang:

$$ |\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $$

to:

Zwischen den Längen und dem Winkel \alpha besteht nun folgender Zusammenhang:

|\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)

Changed lines 3-78 from:
to:

Längen und Winkel


Definition: Sei \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) ein Vektor. Dann nennt man $$ |\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + ... + {v_n}^2} $$ den Betrag des Vektors \vec{v} .

Beispiel: Sei \vec{v}= \left(3\atop 4\right) . Dann ist |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=5 .

Im zwei- und dreidimensionalen Fall ist dies nach Pythagoras die Länge des Pfeils, der zu \vec{v} gehört.

Erinnerung an die Mittelstufe: Der Cosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras.

c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos(\gamma) ; bei \gamma = 90° wird dies zu c^2 = a^2+b^2 .

Winkel bei Vektoren (in der Ebene):

Zwischen den Längen und dem Winkel \alpha bestehn nun folgender Zusammenhang:

$$ |\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $$

Schreiben wir nun \vec{a} = \left(a_1\atop a_2 \right) und \vec{b} = \left(b_1\atop b_2 \right) und verwenden die Definition des Betrags, so erhalten wir:

$$ \left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .$$

$$ {\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ {a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ -2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

Dies \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) nennt man das Skalarprodukt von \vec{a} und \vec{b} und schreibt dafür \vec{a} \cdot \vec{b} oder <\vec{a},\vec{b}> .

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2 $$

(Achtung: Dieser \cdot ist ein anderer \cdot als bei der Matrixmultiplikation !!!)

Definition: Seien \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) und \vec{w}=\left(\begin{array}{aaa} w_1\\\vdots\\w_n\end{array}\right) zwei Vektoren.

Dann heißt $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n $$ das Skalarprodukt von \vec{v} und \vec{w} .

Bemerkung: Für den Winkel \alpha zwischen \vec{v} und \vec{w} gilt \vec{v} \cdot \vec{w} = \left| \vec{v} \right| \cdot \left| \vec{w} \right| \cdot \cos(\alpha) .

Insbesondere gilt: \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 <=> \vec{v} steht senkrecht auf \vec{w} (falls \vec{v} und \vec{w} nicht der Nullvektor sind)

Beispiel: $$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $$

Berechne die Winkel zwischen den Vektoren:

\vec{a};\vec{b}: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \cos(\alpha) $$ also $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} = \frac{ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 +0^2}} = \frac{4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}} $$

$$ \alpha = \cos^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{70}} \right) \approx 61,4° $$

\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a} \approx \vec{c} $$

\vec{b};\vec{c}: $$ \beta = \cos^{-1} \left( \frac{-3}{\sqrt{15}} \right) \approx 140,8° $$

November 16, 2010, at 12:48 AM by 84.173.113.47 -
Changed lines 3-35 from:

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Geraden g und h sind gegeben:

$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$

Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen. Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.

(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").

Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:

$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$

Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in IR, wenn gilt:

$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$

Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Hier ist M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Also gilt: M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}

Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.

to:
May 09, 2010, at 03:31 PM by Marcel Sauer -
Added lines 1-36:

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Geraden g und h sind gegeben:

$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$

Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen. Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.

(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").

Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:

$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$

Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in IR, wenn gilt:

$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$

Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Hier ist M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Also gilt: M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}

Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.

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