LineareAlgebra.Abbildungen11 History

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Changed line 75 from:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow \vec{a}  \perp  \vec{c} $$
to:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}  \perp  \vec{c} $$
Changed line 75 from:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a}  \perp  \vec{c} $$
to:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow \vec{a}  \perp  \vec{c} $$
Changed line 75 from:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a}  \approx  \vec{c} $$
to:
{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a}  \perp  \vec{c} $$
January 30, 2014, at 08:29 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 49-50 from:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2 $$
to:
{$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2 $}
Changed line 57 from:
$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n $$
to:
{$ \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n $}
Changed line 66 from:
$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $$
to:
{$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $}
January 30, 2014, at 08:28 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 35-45 from:
$$ \left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .$$


$$
{\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$


$$
{a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$
-2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$
a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$
to:
{$ \left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .$}


{
$ {\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $}


{
$ {a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $}

{
$ -2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $}

{
$ a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $}
January 30, 2014, at 08:26 AM by 91.14.126.116 -
Changed lines 29-31 from:
Zwischen den Längen und dem Winkel {$ \alpha $} bestehn nun folgender Zusammenhang:

$$ |\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $$
to:
Zwischen den Längen und dem Winkel {$ \alpha $} besteht nun folgender Zusammenhang:

{$ |\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $}
Changed lines 3-78 from:
to:
!!Längen und Winkel

\\

'''Definition:'''
Sei {$ \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) $} ein Vektor. Dann nennt man
$$ |\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + ... + {v_n}^2} $$
den Betrag des Vektors {$ \vec{v} $}.

'''Beispiel:'''
Sei {$ \vec{v}=  \left(3\atop 4\right) $}. Dann ist {$ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $}.

%center% %width=225px% Attach:LuW1.jpg

Im zwei- und dreidimensionalen Fall ist dies nach Pythagoras die Länge des Pfeils, der zu {$ \vec{v} $} gehört.

'''Erinnerung an die Mittelstufe:'''
Der Cosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras.

%center% %width=300px% Attach:CosSatz1.png

{$ c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos(\gamma) $}; bei {$ \gamma = 90° $} wird dies zu {$ c^2 = a^2+b^2 $}.

'''Winkel bei Vektoren (in der Ebene):'''
%center% %width=200px% Attach:LuW3.2.jpg

Zwischen den Längen und dem Winkel {$ \alpha $} bestehn nun folgender Zusammenhang:

$$ |\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $$

Schreiben wir nun {$ \vec{a} = \left(a_1\atop a_2 \right) $} und {$ \vec{b} = \left(b_1\atop b_2 \right) $} und verwenden die Definition des Betrags, so erhalten wir:

$$ \left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .$$


$$ {\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$


$$ {a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ -2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

$$ a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha) $$

Dies {$ \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) $} nennt man das ''Skalarprodukt'' von {$ \vec{a} $} und {$ \vec{b} $} und schreibt dafür {$ \vec{a} \cdot \vec{b} $} oder {$ <\vec{a},\vec{b}> $}.

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2 $$

(Achtung: Dieser {$ \cdot $} ist ein ''anderer'' {$ \cdot $} als bei der Matrixmultiplikation !!!)

'''Definition:'''
Seien {$ \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) $} und {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{aaa} w_1\\\vdots\\w_n\end{array}\right) $} zwei Vektoren.

Dann heißt
$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n $$
das ''Skalarprodukt'' von {$ \vec{v} $} und {$ \vec{w} $}.

'''Bemerkung:'''
Für den Winkel {$ \alpha $} zwischen {$ \vec{v} $} und {$ \vec{w} $} gilt {$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \left| \vec{v} \right| \cdot \left| \vec{w} \right| \cdot \cos(\alpha) $}.

Insbesondere gilt:  {$ \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 <=> \vec{v} $} steht senkrecht auf {$ \vec{w} $} (falls {$ \vec{v} $} und {$ \vec{w} $} nicht der Nullvektor sind)

'''Beispiel:'''
$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $$

Berechne die Winkel zwischen den Vektoren:

{$ \vec{a};\vec{b}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \cos(\alpha) $$
also $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} = \frac{ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 +0^2}} = \frac{4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}} $$

$$ \alpha = \cos^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{70}} \right) \approx  61,4° $$

{$ \vec{a};\vec{c}: $} $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 => \vec{a}  \approx  \vec{c} $$

{$ \vec{b};\vec{c}: $} $$ \beta = \cos^{-1} \left( \frac{-3}{\sqrt{15}} \right) \approx  140,8° $$

November 16, 2010, at 12:48 AM by 84.173.113.47 -
Changed lines 3-35 from:
!! Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Geraden g und h sind gegeben:

$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w}  $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u}  $$

Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.

(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").

Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:

$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$


'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in IR$}, wenn gilt:

$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$

'''Beispiel:'''  {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$}      {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}

Hier ist {$M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}

Also gilt: {$M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}$}

Somit ist {$\vec{w}$} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.


to:
May 09, 2010, at 03:31 PM by Marcel Sauer -
Added lines 1-36:
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!! Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Geraden g und h sind gegeben:

$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w}  $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u}  $$

Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.

(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").

Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:

$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$


'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in IR$}, wenn gilt:

$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$

'''Beispiel:'''  {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$}      {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}

Hier ist {$M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}

Also gilt: {$M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}$}

Somit ist {$\vec{w}$} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.



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