LineareAlgebra.Aufgaben03 History
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Changed lines 8-9 from:
to:
\[ A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
\]
\]
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'''Aufgabe 1''' Gegeben sind folgende Matrizen.{$(2,2)$} Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.
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'''Aufgabe 1''' Gegeben sind folgende Matrizen. Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.
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'''Aufgabe 1''' Gegeben sind folgende Matrizen. Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.
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'''Aufgabe 1''' Gegeben sind folgende Matrizen.{$(2,2)$} Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.
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{$A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
to:
{$ A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
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{$
A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
to:
{$A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
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{$
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$$
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$}
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$$ A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) $$
to:
{$ A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) $}
Changed lines 46-59 from:
to:
'''Aufgabe 9''' Gegeben sind die Vektoren
$$\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}2\\4\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_4=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_5=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)
$$
a) Zeige, dass {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_4\}$} linear abhängig ist. [[<<]]
b) Zeige, dass {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\}$} linear abhängig ist. [[<<]]
c) Finde ein {$\vec{v}_j$}, das man durch die übrigen darstellen kann.[[<<]]
d) Finde ein {$\vec{v}_j$}, das man nicht durch die übrigen darstellen kann.[[<<]]
e) Finde eine maximale linear unabhängige Teilmenge von {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\}$}.
$$\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}2\\4\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_4=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_5=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)
$$
a) Zeige, dass {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_4\}$} linear abhängig ist. [[<<]]
b) Zeige, dass {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\}$} linear abhängig ist. [[<<]]
c) Finde ein {$\vec{v}_j$}, das man durch die übrigen darstellen kann.[[<<]]
d) Finde ein {$\vec{v}_j$}, das man nicht durch die übrigen darstellen kann.[[<<]]
e) Finde eine maximale linear unabhängige Teilmenge von {$\{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\}$}.
Changed lines 42-43 from:
$$\mbox{a)}\; {$\\vec{v}_1 ,\vec{v}_1+\vec{v}_2\}\qquad
\mbox{b)}\;{$\{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\}
\mbox{b)}\;
to:
$$\mbox{a)}\; \{\vec{v}_1 ,\vec{v}_1+\vec{v}_2\}\qquad
\mbox{b)}\; \{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\}
\mbox{b)}\; \{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\}
Changed lines 39-40 from:
to:
'''Aufgabe 7''' Zeige: Ist {$\{\vec{v}_1 ,\vec{v}_2\}$} linear abhängig, so ist einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen.
'''Aufgabe 8''' Zeige: Ist {$\{\vec{v}_1 ,\vec{v}_2\}$} linear unabhängig, so sind auch die folgenden Mengen linear unabhängig:
$$\mbox{a)}\; {$\{\vec{v}_1 ,\vec{v}_1+\vec{v}_2\}\qquad
\mbox{b)}\; {$\{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\}
$$
'''Aufgabe 8''' Zeige: Ist {$\{\vec{v}_1 ,\vec{v}_2\}$} linear unabhängig, so sind auch die folgenden Mengen linear unabhängig:
$$\mbox{a)}\; {$\{\vec{v}_1 ,\vec{v}_1+\vec{v}_2\}\qquad
\mbox{b)}\; {$\{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\}
$$
Added lines 34-36:
\qquad
\mbox{b)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \right\} \qquad
\mbox{c)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}2\\7\end{array}\right)\right\}
\mbox{b)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \right\} \qquad
\mbox{c)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}2\\7\end{array}\right)\right\}
Changed lines 32-37 from:
to:
'''Aufgabe 6''' Prüfe auf lineare Unabhängigkeit.
$$\mbox{a)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}8\\3\\4\end{array}\right)\right\}
$$
$$\mbox{a)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}8\\3\\4\end{array}\right)\right\}
$$
Changed lines 25-26 from:
'''Aufgabe 5''' Stelle die Vektoren {\vec{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$} und {\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$} als Linearkombination von {$\vec{v}_1$}, {$\vec{v}_2$} und {$\vec{v}_3$} dar für
$$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)
$$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_
to:
'''Aufgabe 5''' Stelle die Vektoren {$\vec{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$} und {$\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$} als Linearkombination von {$\vec{v}_1$}, {$\vec{v}_2$} und {$\vec{v}_3$} dar für
$$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)
$$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)
Changed lines 28-30 from:
to:
$$\mbox{b)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}1\\4\\2\end{array}\right)
$$
Gibt es mehrere Möglichkeiten?
$$
Gibt es mehrere Möglichkeiten?
Added lines 24-30:
'''Aufgabe 5''' Stelle die Vektoren {\vec{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$} und {\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$} als Linearkombination von {$\vec{v}_1$}, {$\vec{v}_2$} und {$\vec{v}_3$} dar für
$$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)
$$
Changed line 20 from:
exemplarisch die im [[LineareAlgebra/Matrizen07|Determinantenkapitel] genannten Eigenschaften nach:
to:
exemplarisch die im [[LineareAlgebra/Matrizen07|Determinantenkapitel]] genannten Eigenschaften nach:
Changed line 17 from:
'''Aufgabe 4''' Zeige an der Matrix
to:
'''Aufgabe 4''' Weise an der Matrix
Changed lines 19-20 from:
to:
$$
exemplarisch die im [[LineareAlgebra/Matrizen07|Determinantenkapitel] genannten Eigenschaften nach:
* Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen.
* Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte), so ändert sich die Determinante nicht.
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\in \mathbb{R} $}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
exemplarisch die im [[LineareAlgebra/Matrizen07|Determinantenkapitel] genannten Eigenschaften nach:
* Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen.
* Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte), so ändert sich die Determinante nicht.
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\in \mathbb{R} $}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
Changed lines 17-19 from:
to:
'''Aufgabe 4''' Zeige an der Matrix
$$A=\left(\begin{array}{cccc}-1 &3 &-2 &4\\ 2 & 0&3&5 \\0&1&1&0 \\ -2&0&1&0 \end{array}\right)
$$A=\left(\begin{array}{cccc}-1 &3 &-2 &4\\ 2 & 0&3&5 \\0&1&1&0 \\ -2&0&1&0 \end{array}\right)
Changed lines 12-14 from:
to:
'''Aufgabe 3''' Begründe, dass man (im Falle der Invertierbarkeit) bei der Anwendung des Gaußverfahrens auf die Matrix {$(A|E_n)$} die inverse Matrix erhält. (Hinweis: Betrachte die Spalten von {$A$} als Vektoren.)
Changed lines 3-6 from:
to:
'''Aufgabe 1''' Gegeben sind folgende Matrizen. Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.
$$
A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
$$
'''Aufgabe 2''' Untersuche, wann eine {$(2,2)$}-Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) $$
invertierbar ist und bestimme allgemein die Inverse.
$$
A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right)
$$
'''Aufgabe 2''' Untersuche, wann eine {$(2,2)$}-Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) $$
invertierbar ist und bestimme allgemein die Inverse.
Changed lines 1-8 from:
%right% [[Aufgaben02]]<<>>[[Aufgaben04]]
<<>>[[Aufgaben04]]
to:
%right% [[Aufgaben02|<<]] Aufgaben03 [[Aufgaben04|>>]]
%right% [[Aufgaben02|<<]] Aufgaben03 [[Aufgaben04|>>]]
%right% [[Aufgaben02|<<]] Aufgaben03 [[Aufgaben04|>>]]
Added lines 1-8:
%right% [[Aufgaben02]]<<>>[[Aufgaben04]]
%right% [[Aufgaben02]]<<>>[[Aufgaben04]]
%right% [[Aufgaben02]]<<>>[[Aufgaben04]]