LineareAlgebra.Aufgaben04 History
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$$ T=\left( \begin{array}{ccc}0&0&4\\0{,}5&0&0\\0&a&0\end{array} \right)
to:
$$ T=\left( \begin{array}{ccc}0&1&4\\0{,}5&0&0\\0&a&0\end{array} \right)
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!!Prozesse und Matrizen
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!!Prozesse und Matrizen II
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%right% [[Aufgaben03|<<]] Aufgaben04 [[Aufgaben05|>>]]
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%right% [[Aufgaben03|<<]] Aufgaben04 [[Aufgaben05|>>]]
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#Für die Grenzverteilung gilt auch: .
Berechne die Grenzverteilung auf diese Weise.
Berechne die Grenzverteilung auf diese Weise.
to:
#Für die Grenzverteilung {$\vec{x}_g$} gilt auch: {$U\cdot\vec{x}_g=\vec{x}_g$}. Berechne die Grenzverteilung auf diese Weise.
Changed lines 33-35 from:
to:
#Bestimme die Matrix {$U$}, die den Übergang von {$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$} zu {$\vec{x}'=\left(\begin{array}{c}x_1'\\x_2'\end{array}\right)$}beschreibt.
#Berechne die Matrizenpotenzen {$U^2$} und {$U^4$}. Welche Vermutung ergibt sich daraus für die Grenzmatrix {$G$} mit {$G=\lim_{n\rightarrow\infty}U^n$}? Berechne damit die Grenzverteilung {$\vec{x}_g$}.
#Für die Grenzverteilung gilt auch: .
Berechne die Grenzverteilung auf diese Weise.
#Berechne die Matrizenpotenzen {$U^2$} und {$U^4$}. Welche Vermutung ergibt sich daraus für die Grenzmatrix {$G$} mit {$G=\lim_{n\rightarrow\infty}U^n$}? Berechne damit die Grenzverteilung {$\vec{x}_g$}.
#Für die Grenzverteilung gilt auch: .
Berechne die Grenzverteilung auf diese Weise.
Changed lines 8-10 from:
#Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, daß sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, sodaß sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so
to:
#Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, dass sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so dass sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so dass sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
Changed lines 24-29 from:
#Berechne die Matrizenpotenz {$U_3$} und begründe damit, dass es keine stabile Startpopulation geben kann.
Bestätige dies, indemSie zeigen, dass nur die triviale Lösung hat.
3''' Schluck und Specht[[<<]]
Bestätige dies, indem
to:
#Berechne die Matrizenpotenz {$U^3$} und begründe damit, dass es keine stabile Startpopulation geben kann.
#Bestätige dies, indem Du zeigst, dass {$U\cdot\vec{x}=\vec{x}$} nur die triviale Lösung hat.
'''Aufgabe 4'''
Ein Liter Wasser (je nach Geschmack auch Wein, Bier, etc.) wird beliebig auf zwei Gefäße verteilt, die mindestens je einen Liter fassen. {$x_1$} sei die Füllmenge von Gefäß 1, {$x_2$} diejenige von Gefäß 2.
Nacheinander wird nun zweimal umgefüllt, wobei zunächst die Hälfte des Wassers aus Gefäß 1 in das Gefäß 2 und danach die Hälfte des sich jetzt in Gefäß 2 befindlichen Wassers wieder in Gefäß 1 gefüllt wird.
Nach Vollzug dieser beiden Umfüllaktionen haben sich in den Gefäßen neue Füllmengen
{$x_1'$} und {$x_2'$} ergeben.
Wird dieser Vorgang des zweimaligen Umfüllens sehr oft nacheinander durchgeführt, so stellt sich schließlich immer - unabhängig von der Anfangsverteilung - dieselbe stationäre Grenzverteilung ein.
'''Aufgabe 5''' Schluck und Specht[[<<]]
#Bestätige dies, indem Du zeigst, dass {$U\cdot\vec{x}=\vec{x}$} nur die triviale Lösung hat.
'''Aufgabe 4'''
Ein Liter Wasser (je nach Geschmack auch Wein, Bier, etc.) wird beliebig auf zwei Gefäße verteilt, die mindestens je einen Liter fassen. {$x_1$} sei die Füllmenge von Gefäß 1, {$x_2$} diejenige von Gefäß 2.
Nacheinander wird nun zweimal umgefüllt, wobei zunächst die Hälfte des Wassers aus Gefäß 1 in das Gefäß 2 und danach die Hälfte des sich jetzt in Gefäß 2 befindlichen Wassers wieder in Gefäß 1 gefüllt wird.
Nach Vollzug dieser beiden Umfüllaktionen haben sich in den Gefäßen neue Füllmengen
{$x_1'$} und {$x_2'$} ergeben.
Wird dieser Vorgang des zweimaligen Umfüllens sehr oft nacheinander durchgeführt, so stellt sich schließlich immer - unabhängig von der Anfangsverteilung - dieselbe stationäre Grenzverteilung ein.
'''Aufgabe 5''' Schluck und Specht[[<<]]
Added lines 21-28:
'''Aufgabe 3''' Über die Population fiktiver Käfer sei folgendes bekannt: Die Hälfte aller neugeborenen Käfer überlebt den ersten Lebensmonat, ein Drittel aller einmonatigen Käfer überlebt den zweiten Monat und kein Käfer wird älter als drei Monate (es gibt also nur null, ein- und zweimonatige Käfer). Nullmonatige und einmonatige Käfer haben keine Nachkommen, zweimonatige Käfer haben im Mittel 5 Nachkommen.
#Zeichne den Übergangsgraphen und stelle die Übergangsmatrix {$U$} auf.
#Berechne die Matrizenpotenz {$U_3$} und begründe damit, dass es keine stabile Startpopulation geben kann.
Bestätige dies, indem Sie zeigen, dass nur die triviale Lösung hat.
#Zeichne den Übergangsgraphen und stelle die Übergangsmatrix {$U$} auf.
#Berechne die Matrizenpotenz {$U_3$} und begründe damit, dass es keine stabile Startpopulation geben kann.
Bestätige dies, indem Sie zeigen, dass nur die triviale Lösung hat.
Changed lines 11-14 from:
to:
'''Aufgabe 2''' Die Populationsentwicklung einer Tierart wird durch die Matrix
$$ T=\left( \begin{array}{ccc}0&0&4\\0{,}5&0&0\\0&a&0\end{array} \right)
$$
beschrieben.
#Zeichne den Übergangsgraphen und beschreibe diesen Graphen aus biologischer Sicht.
#Für welchen Wert von {$a$} gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt?
#Bestimme die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt 2600 Tiere umfaßt.
'''Aufgabe 3''' Schluck und Specht[[<<]]
$$ T=\left( \begin{array}{ccc}0&0&4\\0{,}5&0&0\\0&a&0\end{array} \right)
$$
beschrieben.
#Zeichne den Übergangsgraphen und beschreibe diesen Graphen aus biologischer Sicht.
#Für welchen Wert von {$a$} gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt?
#Bestimme die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt 2600 Tiere umfaßt.
'''Aufgabe 3''' Schluck und Specht[[<<]]
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A =\left( \begin{array}{ccc}0&0&v\\a&0&0\\0&b&0\end{array} \right)\quad\mbox{mit}\; v > 0; \; 0 < a < 1; 0 < b< 1
to:
A =\left( \begin{array}{ccc}0&0&v\\a&0&0\\0&b&0\end{array} \right)\quad\mbox{mit}\; v > 0; \; 0 < a < 1;\; 0 < b< 1
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c)
to:
#Zeichne den Übergangsgraphen.
#Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, daß sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so daß sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
#Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, daß sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
#Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so daß sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
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'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht[[<<]]
to:
'''Aufgabe 1''' Bei einer Säugetierart können die jährlichen Änderungen in einer aus drei Alterstufen A1, A2 und A3 bestehenden Population durch die folgende Übergangsmatrix beschrieben werden:
$$
A =\left( \begin{array}{ccc}0&0&v\\a&0&0\\0&b&0\end{array} \right)\quad\mbox{mit}\; v > 0; \; 0 < a < 1; 0 < b< 1
$$
({$v$}: Vermehrungsrate, {$a$},{$b$} Überlebensraten)
a) Zeichne den Übergangsgraphen.
b) Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, daß sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
c) Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so daß sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
'''Aufgabe 2''' Schluck und Specht[[<<]]
$$
A =\left( \begin{array}{ccc}0&0&v\\a&0&0\\0&b&0\end{array} \right)\quad\mbox{mit}\; v > 0; \; 0 < a < 1; 0 < b< 1
$$
({$v$}: Vermehrungsrate, {$a$},{$b$} Überlebensraten)
a) Zeichne den Übergangsgraphen.
b) Bestimme {$a$}, {$b$} und {$v$} so, daß sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
c) Gibt es Werte für {$a$}, {$b$} und {$v$}, so daß sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren reproduziert?
'''Aufgabe 2''' Schluck und Specht[[<<]]
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'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht[>>]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [>>]]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [
to:
'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht[[<<]]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [[<<]]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [[<<]]
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'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck.
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck.
to:
'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht[>>]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [>>]]
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck. [>>]]
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'''Aufgabe 1''' Schluck und Specht
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck.
Zu Beginn der Untersuchung besucht die eine Hälfte der AG das Lokal Schluck, die andere Hälfte das Lokal Specht.
Wie hat sich die „AG-Verteilung“ zwei bzw. fünf Wochen später entwickelt? Wie sah die Verteilung eine bzw. zwei Wochen vor Beginn der Untersuchung aus?
In einer Universitätsstadt gibt es zwei konkurrierende Schülerlokale: Schluck und Specht, und eine Kneipen-AG mit exakt 100 Mitgliedern, von denen jedes in einer Woche genau eines der beiden Lokale besucht. Am Ende jeder Woche entscheidet sich ein Teil der AG, die Kneipe zu wechseln: 20 % der Besucher von Schluck gehen nach Specht, 30 % von Specht nach Schluck.
Zu Beginn der Untersuchung besucht die eine Hälfte der AG das Lokal Schluck, die andere Hälfte das Lokal Specht.
Wie hat sich die „AG-Verteilung“ zwei bzw. fünf Wochen später entwickelt? Wie sah die Verteilung eine bzw. zwei Wochen vor Beginn der Untersuchung aus?