LineareAlgebra.Matrizen02 History
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[= 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ =]
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[= 3x_1+3x_2+2x_3=1770 \\ =]
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to:
\[ \begin{eqnarray} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray} \]
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[= {$$ \begin{eqnarray} =]
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[= \[ \begin{eqnarray} =]
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[= \end{eqnarray} $$} =]
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[= \end{eqnarray} \] =]
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\[ A\cdot\vec{x}=\vec{b} \]
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[= {$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$} =]
to:
[= \[ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) \] =]
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[= {$$
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[= \[
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\] =]
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\[
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\]
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\[
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\]
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\[
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\]
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\[
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\[
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\[
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\]
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\[
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\[
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\]
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[= {$$
3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray}
$$} =]
$$}
to:
[= {$$ \begin{eqnarray} =]
[= 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ =]
[= 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ =]
[= 5x_1+2x_2+3x_3=2080 =]
[= \end{eqnarray} $$} =]
[= 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ =]
[= 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ =]
[= 5x_1+2x_2+3x_3=2080 =]
[= \end{eqnarray} $$} =]
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{$$
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[= {$$
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$$}
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$$} =]
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{$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$}
to:
[= {$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$} =]
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{$$
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[= {$$
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$$}
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$$} =]
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\begin{eqnarray*} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray*}
to:
\begin{eqnarray} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray}
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$$
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{$$
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$$
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$$}
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$$
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{$$
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$$
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$$}
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{$$
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{$$
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{$$
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{$$
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$$
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$$}
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$$
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{$$
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{$$
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$$
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$$ A\cdot\vec{x}=\vec{b} $$
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{$$ A\cdot\vec{x}=\vec{b} $$}
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$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$
to:
{$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$}
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$$ \begin{eqnarray} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray} $$
to:
{$$ \begin{eqnarray} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray} $$}
Changed line 9 from:
$$
to:
{$$
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$$
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$$}
Changed lines 19-20 from:
Zu allgemeinen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungssystemenmuss ein eigenes Kapitel eingeplant werden. Wir verwenden zur Lösung den Gaußalgorithmus, in dessen Verlauf man feststellt, ob die Lösungsmenge leer ist, genau ein Element oder unendlich viele Elemente enthält.
to:
Zu allgemeinen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungssystemen muss ein eigenes Kapitel eingeplant werden. Wir verwenden zur Lösung den Gaußalgorithmus, in dessen Verlauf man feststellt, ob die Lösungsmenge leer ist, genau ein Element oder unendlich viele Elemente enthält.
Changed lines 6-7 from:
$$ \begin{eqnarray*} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray*} $$
to:
$$ \begin{eqnarray} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray} $$
Changed lines 15-17 from:
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)
to:
$$ A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right) $$
Added lines 6-8:
$$ \begin{eqnarray*} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray*} $$
Ordnet man die Variablen und schreibt sie übersichtlich untereinander, so erhält man:
Ordnet man die Variablen und schreibt sie übersichtlich untereinander, so erhält man:
Changed line 10 from:
\begin{eqnarray*} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray*}
to:
\begin{eqnarray*} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray*}
Deleted lines 11-15:
Ordnet man die Variablen und schreibt sie übersichtlich untereinander, so erhält man:
$$
\begin{eqnarray*} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray*}
$$
Changed lines 22-27 from:
to:
Zu allgemeinen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungssystemenmuss ein eigenes Kapitel eingeplant werden. Wir verwenden zur Lösung den Gaußalgorithmus, in dessen Verlauf man feststellt, ob die Lösungsmenge leer ist, genau ein Element oder unendlich viele Elemente enthält.
!!Der Gaußalgorithmus
Um Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschiedene aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
!!Der Gaußalgorithmus
Um Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschiedene aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
Changed lines 67-68 from:
to:
*Hier gibt es [[Aufgaben01|Übungsaufgaben]]
*[[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm | Gleichungssysteme online lösen]]
*[[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm | Gleichungssysteme online lösen]]
Changed lines 57-58 from:
to:
Streicht man wieder gedanklich die letzte Zeile, so kann man den letzten Schritt wieder anwenden. Dies führt man so lange durch, bis man eine Matrix erhält, die in der Diagonalen {$1$} hat und ansonsten nur {$0$}. Rechts ist der Ergebnisvektor. Hier kann man die Lösung des Gleichungssystems ablesen.
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&0&\dots& 0& |& * \\0&1&\ddots& \vdots& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &0&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
In unserem Beispiel ergibt sich:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&0& |& 560\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right)\longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&0&0& |& 200\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right) \quad\mbox{also}
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\270\\180\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&0&\dots& 0& |& * \\0&1&\ddots& \vdots& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &0&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
In unserem Beispiel ergibt sich:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&0& |& 560\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right)\longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&0&0& |& 200\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right) \quad\mbox{also}
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\270\\180\end{array}\right)
$$
Changed lines 53-56 from:
to:
In unserem Beispiel sieht das dann so aus:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&1&|&180\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&0& |& 560\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&1&|&180\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&0& |& 560\\0&1&0&|&270\\0&0&1&|&180\end{array}\right)
$$
Changed lines 49-52 from:
to be continued
to:
Nun nutzt man die letzte Zeile, um in den übrigen Zeilen die letzte Spalte (vor dem Ergebnisvektor, d.h. vor dem Strich!) zu Null zu machen. Da die restlichen Einträge in dieser Zeile {$0$} sind, wird außer der letzten Spalte nichts beeinflusst. Das Ziel ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& 0& |& * \\0&1&\ddots& \vdots& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &0&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& 0& |& * \\0&1&\ddots& \vdots& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &0&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
Changed lines 45-50 from:
to:
Für unser Beispiel durchgeführt erhält man so:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&\frac{26}{3}&|&1560\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&1&|&180\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&\frac{26}{3}&|&1560\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&1&3&|&810\\0&0&1&|&180\end{array}\right)
$$
Changed line 43 from:
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\dots& *& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\ddots& \vdots& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &*&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
Changed line 43 from:
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\dots& *& |& * \\ \vdots &&\ddots &&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\dots& *& |& * \\ \vdots &\ddots&\ddots &&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
Changed line 39 from:
\left(\begin{array}{ccccc}3&4&5& |& 2580\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{ccccc}3&4&5& |& 2580\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right)
Changed lines 41-42 from:
to:
Durch das (gedankliche) Streichen der ersten Zeile und ersten Spalte erhält man eine neue Matrix, auf die man den gleichen Schritt wieder anwendet. Dies führt man so lange durch bis man schließlich eine obere Dreicksmatrix erhält, die nur Einsen in der Diagonalen hat:
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\dots& *& |& * \\ \vdots &&\ddots &&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&1&\dots& *& |& * \\ \vdots &&\ddots &&|&\vdots \\0&\dots&0& 1& |& * \end{array}\right)
$$
Changed lines 37-39 from:
to:
In unserem Beispiel sieht das so aus:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}3&4&5& |& 2580\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{ccccc}3&4&5& |& 2580\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&\frac{4}{3}&\frac{5}{3}& |& 860\\0&-1&-3&|&-810\\0&-\frac{14}{3}&-\frac{16}{3}&|&-2220\end{array}\right)
$$
Changed lines 33-36 from:
Man multipliziert nun die erste Zeile so mit einem geeigneten Faktor, dass der erste Eintrag zu {$1$} wird. Gegebenenfalls muss man Zeilen tauschen (man könnte auch Spalten tauschen, würde dadurch aber die Reihenfolge der Variablen ändern!). Dann addiert man geeignete Vielfache dieser neuen ersten Zeile so zu den restlichen Zeilen, dass jeder erste Eintrag {$0$} wird. Ziel ist eine Matrix der Form: {$\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0*&\dots& *& |& * \\0*&\dots& *& |& * \end{array}\right)$}
to:
Man multipliziert nun die erste Zeile so mit einem geeigneten Faktor, dass der erste Eintrag zu {$1$} wird. Gegebenenfalls muss man Zeilen tauschen (man könnte auch Spalten tauschen, würde dadurch aber die Reihenfolge der Variablen ändern!). Dann addiert man geeignete Vielfache dieser neuen ersten Zeile so zu den restlichen Zeilen, dass jeder erste Eintrag {$0$} wird. Ziel ist eine Matrix der Form:
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&*&\dots& *& |& * \\ \vdots &&\vdots &&|&\vdots \\0&*&\dots& *& |& * \end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0&*&\dots& *& |& * \\ \vdots &&\vdots &&|&\vdots \\0&*&\dots& *& |& * \end{array}\right)
$$
Changed lines 33-36 from:
to:
Man multipliziert nun die erste Zeile so mit einem geeigneten Faktor, dass der erste Eintrag zu {$1$} wird. Gegebenenfalls muss man Zeilen tauschen (man könnte auch Spalten tauschen, würde dadurch aber die Reihenfolge der Variablen ändern!). Dann addiert man geeignete Vielfache dieser neuen ersten Zeile so zu den restlichen Zeilen, dass jeder erste Eintrag {$0$} wird. Ziel ist eine Matrix der Form: {$\left(\begin{array}{cccccc}1&*&\dots& *& |& * \\0*&\dots& *& |& * \\0*&\dots& *& |& * \end{array}\right)$}
Changed line 31 from:
\left(\begin{array}{ccc{|}c}3&4&5& | 2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{ccccc}3&4&5& |& 2580\\3&3&2&|&1770\\5&2&3&|&2080\end{array}\right)
Changed line 31 from:
\left(\begin{array}{ccc{|}c}3&4&5&2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{ccc{|}c}3&4&5& | 2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
Changed line 31 from:
\left(\begin{array}{ccc|c}3&4&5&2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{ccc{|}c}3&4&5&2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
Changed line 31 from:
\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{ccc|c}3&4&5&2580\\3&3&2&1770\\5&2&3&2080\end{array}\right)
Changed lines 27-29 from:
to:
Das Gaußverfahren ist ein Algorithmus, der diese Äquivalenzumformungen systematisch zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) nutzt. Er eignet sich gut zur Implementierung in ein Computerprogramm.
Zuerst fasst man die Matrix {$A$} und den Vektor {$\vec{b}$} zur sogenannten '''erweiterten Koeffizientenmatrix''' zusammen:
$$
\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)
$$
Zuerst fasst man die Matrix {$A$} und den Vektor {$\vec{b}$} zur sogenannten '''erweiterten Koeffizientenmatrix''' zusammen:
$$
\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)
$$
Changed line 23 from:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\neq =$}
to:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\neq 0$}
Changed lines 22-23 from:
Um solche Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschieden aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\noteq =$}
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\
to:
Um solche Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschiedene aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\neq =$}
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\neq =$}
Added line 4:
Changed lines 20-23 from:
to:
Auf diese Weise kann man jedes System linearer Gleichungen mit Hilfe einer Matrix schreiben. Die Spaltenzahl der Matrix ist die Zahl der Variablen und die Zeilenanzahl ist die Zahl der Gleichungen.
Um solche Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschieden aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\noteq =$}
##Addition von Zeilen
##Vertauschen von Zeilen
Um solche Gleichungssysteme zu lösen verwendet man verschieden aus der Mittelstufe bekannte Äquivalenzumformungen:
##Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor {$\noteq =$}
##Addition von Zeilen
##Vertauschen von Zeilen
Changed line 17 from:
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\; ,\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\; ,\; \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)\; ,\;
to:
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\quad ,\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)
Changed lines 19-24 from:
$$
to:
Added lines 13-24:
Schreibt man nun die Koeffizienten in eine Matrix {$A$}, die Variablen in einen Vektor {$\vec{x}$} und die Zahlen auf der rechten Seite in einen Vektor {$\vec{b}$}, so schreibt sich das Gleichungssystem als
$$ A\cdot\vec{x}=\vec{b} $$
wobei
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\; ,\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\; ,\; \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)\; ,\;
$$
$$
$$
$$ A\cdot\vec{x}=\vec{b} $$
wobei
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\3&3&2\\5&2&3\end{array}\right)\; ,\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\; ,\; \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2580\\1770\\2080\end{array}\right)\; ,\;
$$
$$
$$
Changed lines 4-5 from:
to:
Gleichungssysteme lassen sich mit Hilfe von Matrizen und Vektoren sehr effizient aufschreiben und bearbeiten. Betrachte z.B. das folgende Gleichungssystem:
$$
\begin{eqnarray*} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray*}
$$
Ordnet man die Variablen und schreibt sie übersichtlich untereinander, so erhält man:
$$
\begin{eqnarray*} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray*}
$$
$$
\begin{eqnarray*} 3x_1=2580-(4x_2+5x_3) \\ 3x_2+3x_1=1770-2x_3 \\ 5x_1+3x_3+2x_2=2080 \end{eqnarray*}
$$
Ordnet man die Variablen und schreibt sie übersichtlich untereinander, so erhält man:
$$
\begin{eqnarray*} 3x_1+4x_2+5x_3= 2580 \\ 3x_1+3x_2+2x_3=1170 \\ 5x_1+2x_2+3x_3=2080 \end{eqnarray*}
$$
Changed line 1 from:
%right% [[Matrizen01]]<<>>[[Matrizen03]]
to:
%right% [[Matrizen01|<<]] Matrizen02 [[Matrizen03|>>]]
Added lines 5-8:
%right% [[Matrizen01|<<]] Matrizen02 [[Matrizen03|>>]]
Changed lines 1-4 from:
%right% [[Matrizen01]]<<>>[[Matrizen03]]
to:
%right% [[Matrizen01]]<<>>[[Matrizen03]]
!!Lineare Gleichungssysteme und Matrizen: Gaußverfahren
!!Lineare Gleichungssysteme und Matrizen: Gaußverfahren