LineareAlgebra.Matrizen03 History
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\left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,12 & 0,12 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right)
to:
\left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,17 & 0,17 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right)
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b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&27\end{array}\right) $}
to:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&26\end{array}\right) $}
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\[
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\]
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$$
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{$$
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$$
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$$}
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%right% [[Matrizen02]]<<>>[[Matrizen04]]
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%right% [[Matrizen02|<<]] Matrizen03 [[Matrizen04|>>]]
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%right% [[Matrizen02]]<<>>[[Matrizen04]]
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%right% [[Matrizen02|<<]] Matrizen03 [[Matrizen04|>>]]
Added lines 41-43:
* Applet zum Üben der [[http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/Java/MatMult.html|Matrixmultiplikation]]
*[[Aufgaben01|Übungsaufgaben]] zur Matrizenmultiplikation
*[[Aufgaben01|Übungsaufgaben]] zur Matrizenmultiplikation
Added lines 38-39:
d) {$\left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5 \\-3\end{array}\right) =1\cdot 2+3\cdot 0,5+5\cdot (-3)=-11,5 $}
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'''Beispiel:''' a) In der [[ProzessEinkommensverteilung|Aufgabe zur Einkommensverteilung]] war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
to:
'''Beispiele:''' a) In der [[ProzessEinkommensverteilung|Aufgabe zur Einkommensverteilung]] war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
Added lines 36-37:
c) {$\left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 &6&10\\0,5&1,5&2,5\end{array}\right) $}
Changed line 35 from:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array]{cc} -2&3\\-6&27\end{array} $}
to:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&27\end{array}\right) $}
Changed line 35 from:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array}\right) $}
to:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array]{cc} -2&3\\-6&27\end{array} $}
Changed line 35 from:
b) {$\left(\begin{array]{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\cdot \left(\begin{array]{cc} -2&7\\0&-1\end{array} = \left(\begin{array]{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array} $}
to:
b) {$\left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array}\right) $}
Changed line 23 from:
'''Beispiel:''' In der [[ProzessEinkommensverteilung|Aufgabe zur Einkommensverteilung]] war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
to:
'''Beispiel:''' a) In der [[ProzessEinkommensverteilung|Aufgabe zur Einkommensverteilung]] war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
Added lines 34-35:
b) {$\left(\begin{array]{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\cdot \left(\begin{array]{cc} -2&7\\0&-1\end{array} = \left(\begin{array]{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array} $}
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%right% [[Matrizen01]]<<>>[[Matrizen03]]
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%right% [[Matrizen02]]<<>>[[Matrizen04]]
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A^2=a\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots
to:
A^2=A\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots
Changed lines 14-15 from:
Die Matrix {$B$} muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix {$A$} Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie {$A$} und so viele Spaltren wie {$B$}.
to:
Die Matrix {$B$} muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix {$A$} Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie {$A$} und so viele Spalten wie {$B$}.
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'''Beispiel:''' In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
to:
'''Beispiel:''' In der [[ProzessEinkommensverteilung|Aufgabe zur Einkommensverteilung]] war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
Changed lines 29-30 from:
Erklärung: Attach Matrixmult.jpg
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Erklärung: Attach:Matrixmult.jpg
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Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
to:
'''Beispiel:''' In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
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Erklärung: Attach Matrixmult.jpg
Man erhält das Element in der dritten Zeile und zweiten Spalte, indem man die dritte Zeile der ersten (linken) Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix komponentenweise multipliziert und die Produkte addiert:
{$0,15=0 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,1$}
Man erhält das Element in der dritten Zeile und zweiten Spalte, indem man die dritte Zeile der ersten (linken) Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix komponentenweise multipliziert und die Produkte addiert:
{$0,15=0 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,1$}
Changed lines 22-29 from:
Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
to:
Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
$$
A^2=A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,12 & 0,12 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right)
$$
$$
A^2=A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,12 & 0,12 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right)
$$
Changed lines 12-22 from:
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p $}
to:
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p $}
Die Matrix {$B$} muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix {$A$} Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie {$A$} und so viele Spaltren wie {$B$}.
Ist {$A$} eine quadratische Matrix, so hat sie genau so viele Zeilen wie Spalten. Dann kann man {$A$} mit sich selbst multiplizieren und Matrixpotenzen bilden.
$$
A^2=a\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots
$$
Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
Die Matrix {$B$} muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix {$A$} Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie {$A$} und so viele Spaltren wie {$B$}.
Ist {$A$} eine quadratische Matrix, so hat sie genau so viele Zeilen wie Spalten. Dann kann man {$A$} mit sich selbst multiplizieren und Matrixpotenzen bilden.
$$
A^2=a\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots
$$
Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn {$A$} die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu {$A^2$}berechnen:
Changed line 12 from:
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n $}
to:
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p $}
Added line 3:
Changed lines 11-12 from:
$$
to:
$$
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n $}
wobei {$ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n $}
Changed lines 4-6 from:
A\cdot B=
to:
$$
A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
$$
A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
$$
Changed line 4 from:
$$
to:
{$$
Changed lines 6-7 from:
to:
$$}
Changed lines 5-10 from:
A\cdotB=
\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
to:
A\cdot B=
Added lines 1-11:
!!Matrizenmultiplikation
'''Definition:''' Sei {$A$} eine {$(n,m)$}-Matrix und {$B$} eine {$(m,p)$}-Matrix. Dann ist das Matrixprodukt von {$A$} und {$B$} folgendermaßen erklärt:
$$
A\cdotB=
\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
$$
'''Definition:''' Sei {$A$} eine {$(n,m)$}-Matrix und {$B$} eine {$(m,p)$}-Matrix. Dann ist das Matrixprodukt von {$A$} und {$B$} folgendermaßen erklärt:
$$
A\cdotB=
\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right)
$$