Definition: Eine quadratische (n,n)-Matrix, deren Elemente in der sogenannten Hauptdiagonalen alle 1 sind und deren sonstigen Elemente alle 0 sind heißt Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix wird mit E_n bezeichnet. $$ E_n=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right) $$ Bemerkung: Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: $$ A\cdot E_n=E_n\cdot A = A $$ d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{R}, dort ist 1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a
Definition: Sei A eine (n,n)-Matrix. Existiert eine (n,n)-Matrix B mit $$ A\cdot B = B \cdot A = E_n \; , $$ so nennt man B die inverse Matrix zu A und schreibt B=A^{-1}.
Bemerkung: In \mathbb{R} gibt es zu jeder Zahl a\neq 0 ein multiplikatives Inverses: $$ a\cdot a^{-1}=a\cdot\frac{1}{a}=1 $$ Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen. Vergleiche dazu Aufgabe 1.
Um zu einer (n,n)-Matrix A die inverse Matrix zu finden, schreibt man die Matrix zusammen mit der Einheitsmatrix in eine erweiterte Matrix: $$ (A|E_n) $$ Auf diese wendet man das Gaußverfahren an. Ist die Matrix invertierbar, so endet das Gaußverfahren mit $$ (E_n|A^{-1}) $$ Die Begründung dafür ist eine Übungsaufgabe