LineareAlgebra.Matrizen06 History
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-> Für {$r,s \in \R$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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-> Für {$r,s \in \mbox{IR}$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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-> Für {$r,s \in \boldmathR$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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-> Für {$r,s \in \R$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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-> Für {$r,s \in |R$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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-> Für {$r,s \in \boldmathR$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
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# Die Addition ist kommutativ, d.h. {$A + B = B + A \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.BeweisDerKummutativit%e4t| Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C) \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.AdditionIstAssoziativ|Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C)
to:
# Die Addition ist kommutativ, d.h. {$A + B = B + A $} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.BeweisDerKummutativit%e4t| zum Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C)$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.AdditionIstAssoziativ|zum Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C)$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.AdditionIstAssoziativ|zum Beweis]]
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-> {$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet1|Beweis]] und {$C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlebra.BeweisDistributivitaet2|Beweis]]
to:
-> {$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet1|Beweis]] und {$C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B$} [[LineareAlebra.BeweisDistributivitaet2|zum Beweis]]
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-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4|Beweis]]
to:
-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4| zum Beweis]]
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%right% [[Matrizen05|<<]] Matrizen06 [[Matrizen07|>>]]
!!!Addition von Vektoren und Matrizen
'''Definition:'''
!!!Addition von Vektoren und Matrizen
'''Definition:'''
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'+Definition+':
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'''Definition:'''
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''''+Eigenschaften von Addition und Multiplikation+''''
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'''Eigenschaften von Addition und Multiplikation'''
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-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4|Beweis]]
to:
-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4|Beweis]]
%right% [[Matrizen05|<<]] Matrizen06 [[Matrizen07|>>]]
%right% [[Matrizen05|<<]] Matrizen06 [[Matrizen07|>>]]
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''''+Addition von Vektoren und Matrizen+''''
'+Definition+':
Sind {$\vec a$} und {$\vec b$} zwei Vektoren mit jeweils {$n$} Einträgen, so definiert man die Addition von {$\vec a$} und {$\vec b$} komponentenweise:
$$ \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \\ \vdots \\ {a_n + b_n} \end{array}\right)$$
Man kann auch eine komponentenweise Addition von Matrizen definieren. Die Matrizen müssen gleiche Spalten- und Zeilenzahl besitzen.
'+Definition+':
Seien {$A$} und {$B$} zwei {$(n \times m)$}-Matrizen. Dann wird die Summe von {$A$} und {$B$} komponentenweise erklärt:
$$A + B =
\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots &\ a_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm}\end{array} \right)
+ \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{array}
\right) = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1}+ b_{n1} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \end{array} \right)$$
''''+Eigenschaften von Addition und Multiplikation+''''
# Die Addition ist kommutativ, d.h. {$A + B = B + A \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.BeweisDerKummutativit%e4t| Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C) \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.AdditionIstAssoziativ|Beweis]]
# Die Addition und Multiplikation von Matrizen sind distributiv, dh. es gilt: \\
-> {$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet1|Beweis]] und {$C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlebra.BeweisDistributivitaet2|Beweis]]
# Die Multiplikation ist auch assoziativ, d.h. {$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisAssoziativitaet|Beweis]]
# Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ
# Die Skalarmultiplikation ist ebenfalls distributiv: \\
-> Für {$r,s \in |R$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4|Beweis]]
'+Definition+':
Sind {$\vec a$} und {$\vec b$} zwei Vektoren mit jeweils {$n$} Einträgen, so definiert man die Addition von {$\vec a$} und {$\vec b$} komponentenweise:
$$ \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \\ \vdots \\ {a_n + b_n} \end{array}\right)$$
Man kann auch eine komponentenweise Addition von Matrizen definieren. Die Matrizen müssen gleiche Spalten- und Zeilenzahl besitzen.
'+Definition+':
Seien {$A$} und {$B$} zwei {$(n \times m)$}-Matrizen. Dann wird die Summe von {$A$} und {$B$} komponentenweise erklärt:
$$A + B =
\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots &\ a_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm}\end{array} \right)
+ \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{array}
\right) = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1}+ b_{n1} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \end{array} \right)$$
''''+Eigenschaften von Addition und Multiplikation+''''
# Die Addition ist kommutativ, d.h. {$A + B = B + A \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.BeweisDerKummutativit%e4t| Beweis]]
# Die Addition ist assoziativ, d.h. {$(A + B) + C = A + (B + C) \rightarrow$} [[http://www.rutz-lewandowski.de/mrlwiki/pmwiki.php?n=LineareAlgebra.AdditionIstAssoziativ|Beweis]]
# Die Addition und Multiplikation von Matrizen sind distributiv, dh. es gilt: \\
-> {$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet1|Beweis]] und {$C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlebra.BeweisDistributivitaet2|Beweis]]
# Die Multiplikation ist auch assoziativ, d.h. {$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisAssoziativitaet|Beweis]]
# Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ
# Die Skalarmultiplikation ist ebenfalls distributiv: \\
-> Für {$r,s \in |R$} und Matrizen {$A$} und {$B$} gilt:\\
-> {$ r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet3|Beweis]] und {$(r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A\rightarrow$} [[LineareAlgebra.BeweisDistributivitaet4|Beweis]]