LineareAlgebra.Matrizen07 History
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Changed line 19 from:
to:
$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\qquad
Changed line 22 from:
$}
to:
$
Changed lines 26-28 from:
{$
to:
$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})\qquad\mbox{Entwicklung nach der i-ten Zeile}$
$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$
$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$
Changed line 19 from:
to:
{$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\qquad
Changed lines 22-23 from:
$$
to:
$}
Changed lines 26-28 from:
$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})\qquad\mbox{Entwicklung nach der i-ten Zeile}$$
$$$
$$
to:
{$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})\qquad\mbox{Entwicklung nach der i-ten Zeile}$}
{$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$}
{$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$}
Changed line 7 from:
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \quad\Leftrightarrow\quad A \;\mbox{ist invertierbar}$$
to:
{$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \quad\Leftrightarrow\quad A \;\mbox{ist invertierbar}$}
Changed lines 40-42 from:
$$=1\cdot(54-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)=9$$
to:
$$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)=0$$
Changed line 55 from:
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&1\\-1&2\end{array}\right)\right] +2\cdot\left[2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&-1\\0&2\end{array}\right)-0+(-1)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} -2&0\\4&-1\end{array}\right)\right]
to:
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&1\\-1&2\end{array}\right)\right] +2\cdot\left[2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&-1\\0&2\end{array}\right)-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\-1&2\end{array}\right)\right]
Changed line 57 from:
$$= -\left[-(-2)\cdot 11\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +\cdot 2\right] =6
to:
$$= -\left[-(-2)\cdot 11\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +2\cdot (-1)\right] =6
Changed line 57 from:
$$= -\left[-(-2)\cdot 12\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +(-1)\cdot 2\right] =52
to:
$$= -\left[-(-2)\cdot 11\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +(-1)\cdot 2\right] =6
Changed line 57 from:
$$= -\left[-(-2)\cdot(5\cdot2-1\cdot(-1))\right] +2\cdot\left[2\cdot(4\cdot 2-(-1)\cdot 0)+(-1)\cdot((-2)\cdot(-1)-0\cdot 4)\right]
to:
$$= -\left[-(-2)\cdot 12\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +(-1)\cdot 2\right] =52
Changed line 55 from:
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot(5\cdot2-1\cdot(-1))\right] +2\cdot\left[2\cdot(4\cdot 2-(-1)\cdot 0)+(-1)\cdot((-2)\cdot(-1)-0\cdot 4)\right]
to:
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&1\\-1&2\end{array}\right)\right] +2\cdot\left[2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&-1\\0&2\end{array}\right)-0+(-1)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} -2&0\\4&-1\end{array}\right)\right]
Changed lines 57-59 from:
to:
$$= -\left[-(-2)\cdot(5\cdot2-1\cdot(-1))\right] +2\cdot\left[2\cdot(4\cdot 2-(-1)\cdot 0)+(-1)\cdot((-2)\cdot(-1)-0\cdot 4)\right]
$$
$$
Changed line 47 from:
$$\mbox{det}(B)=0+(-1)^{2+3}\cdot
to:
$$\mbox{det}(B)=0+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot
Changed line 49 from:
(-1)^{2+3}\cdot
to:
(-1)^{3+3}\cdot 2\cdot
Changed lines 53-55 from:
Die Determinanten der {$3\times 3$}-Matrizen kann man nun wieder geeignet entwickeln.
to:
Die Determinanten der {$3\times 3$}-Matrizen kann man nun wieder geeignet entwickeln. Die erste Matrix nach der zweiten Spalte und die zweite Matrix nach der ersten Zeile.
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot(5\cdot2-1\cdot(-1))\right] +2\cdot\left[2\cdot(4\cdot 2-(-1)\cdot 0)+(-1)\cdot((-2)\cdot(-1)-0\cdot 4)\right]
$$
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot(5\cdot2-1\cdot(-1))\right] +2\cdot\left[2\cdot(4\cdot 2-(-1)\cdot 0)+(-1)\cdot((-2)\cdot(-1)-0\cdot 4)\right]
$$
Changed lines 45-47 from:
$$ B= \left(\begin{array}{cccc} 2&-2&0&0\\0&4&1&1\\5&0&2$1 \\ 1&0&0&2\end{array}\right) $$
$$\mbox{det}(B)=
$$\mbox{det}(B)=
to:
$$ B= \left(\begin{array}{cccc} 2&-2&0&0\\0&4&1&-1\\5&0&2&1 \\ -1&0&0&2\end{array}\right) $$
$$\mbox{det}(B)=0+(-1)^{2+3}\cdot
\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\5&0&1 \\ -1&0&2\end{array}\right) +
(-1)^{2+3}\cdot
\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\0&4&-1 \\ -1&0&2\end{array}\right) + 0
$$\mbox{det}(B)=0+(-1)^{2+3}\cdot
\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\5&0&1 \\ -1&0&2\end{array}\right) +
(-1)^{2+3}\cdot
\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\0&4&-1 \\ -1&0&2\end{array}\right) + 0
Changed lines 53-55 from:
to:
Die Determinanten der {$3\times 3$}-Matrizen kann man nun wieder geeignet entwickeln.
Changed lines 33-34 from:
'''Beispiel:''' Wir verwenden die Matrix {$A$} von oben und entwickeln nach der ersten Zeile.
to:
'''Beispiel 1:''' Wir verwenden die Matrix {$A$} von oben und entwickeln nach der ersten Zeile.
Changed lines 40-50 from:
$$=1\cdot(54-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$
to:
$$=1\cdot(54-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)=9$$
'''Beispiel 2:''' Besonders effektiv ist die Entwicklung, wenn eine Spalte oder Zeile viele Nullen enthält. Dazu entwickeln wir die folgende Matrix zuerst nach der dritten Spalte:
$$ B= \left(\begin{array}{cccc} 2&-2&0&0\\0&4&1&1\\5&0&2$1 \\ 1&0&0&2\end{array}\right) $$
$$\mbox{det}(B)=
$$
'''Beispiel 2:''' Besonders effektiv ist die Entwicklung, wenn eine Spalte oder Zeile viele Nullen enthält. Dazu entwickeln wir die folgende Matrix zuerst nach der dritten Spalte:
$$ B= \left(\begin{array}{cccc} 2&-2&0&0\\0&4&1&1\\5&0&2$1 \\ 1&0&0&2\end{array}\right) $$
$$\mbox{det}(B)=
$$
Changed lines 39-40 from:
to:
$$=1\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&6\\8&9\end{array}\right)-2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)+3\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&5\\7&8\end{array}\right) $$
$$=1\cdot(54-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$
$$=1\cdot(54-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$
Changed lines 35-37 from:
$$\mbox{det}(A)=\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=(-1)^{1+1}\cdot
A_{11}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)\qquad
A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\5&6\end{array}\right)
A_{31}=\left
to:
$$\mbox{det}(A)=\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \mbox{det}(A_{11})+
(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \mbox{det}(A_{12})+
(-1)^{1+3}\cdot 3\cdot \mbox{det}(A_{13})
(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \mbox{det}(A_{12})+
(-1)^{1+3}\cdot 3\cdot \mbox{det}(A_{13})
Changed lines 31-33 from:
to:
In der Summe rechts steht zwar immer noch eine Determinante, aber die Matrizen, von denen Determinanten zu berechnen sind, werden immer kleiner. Da wir die Determinante von {$2\times 2$}-Matrizen berechnen können, kann man durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsformel die Determinante schließlich berechnen.
'''Beispiel:''' Wir verwenden die Matrix {$A$} von oben und entwickeln nach der ersten Zeile.
$$\mbox{det}(A)=\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=(-1)^{1+1}\cdot
A_{11}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)\qquad
A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\\5&6\end{array}\right)
$$
'''Beispiel:''' Wir verwenden die Matrix {$A$} von oben und entwickeln nach der ersten Zeile.
$$\mbox{det}(A)=\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=(-1)^{1+1}\cdot
A_{11}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)\qquad
A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\\5&6\end{array}\right)
$$
Changed lines 12-13 from:
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\in \R $}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
to:
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\in \mathbb{R} $}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
Changed lines 27-28 from:
to:
$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})\qquad\mbox{Entwicklung nach der i-ten Zeile}$$
$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$$
$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$$
Changed line 9 from:
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern: Einer quadratischen Matrix {A$} kann man eine eindeutig bestimmte Zahl, die '''Determinante''' zuordnen. Man schreibt dafür {$d\mbox{det}(A)$}. Die Determinante hat folgende Eigenschaften:
to:
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern: Einer quadratischen Matrix {$A$} kann man eine eindeutig bestimmte Zahl, die '''Determinante''' zuordnen. Man schreibt dafür {$\mbox{det}(A)$}. Die Determinante hat folgende Eigenschaften:
Changed lines 12-13 from:
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\not= 0$}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
to:
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\in \R $}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
Changed lines 24-25 from:
to:
Mit dieser Schreibweise kann man eine Entwicklungsformel angeben, mit deren Hilfe man Determinanten rekursiv berechnen kann. Die Formeln sehen auf den ersten Blick komplizert aus, sind aber in der Anwendung einfach. Die Beispiele werden dies verdeutlichen.
'''Satz:''' Sei {$A$} eine {$n\times n$}-Matrix. Dann gilt
*$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})$$
'''Satz:''' Sei {$A$} eine {$n\times n$}-Matrix. Dann gilt
*$$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})$$
Changed lines 14-17 from:
!!Entwicklung von Determinanten
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht.Im Beispiel
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht.
to:
!!!Entwicklung von Determinanten
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht. \\
'''Beispiel:'''
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht. \\
'''Beispiel:'''
Changed lines 20-21 from:
A_{12}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)
to:
A_{12}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)\qquad
A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\\5&6\end{array}\right)
A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\\5&6\end{array}\right)
Changed lines 2-4 from:
to:
!!Determinanten
Changed lines 9-12 from:
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern.
to:
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern: Einer quadratischen Matrix {A$} kann man eine eindeutig bestimmte Zahl, die '''Determinante''' zuordnen. Man schreibt dafür {$d\mbox{det}(A)$}. Die Determinante hat folgende Eigenschaften:
* Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen.
* Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte), so ändert sich die Determinante nicht.
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\not= 0$}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
!!Entwicklung von Determinanten
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht. Im Beispiel
$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\qquad
A_{12}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)
$$
* Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen.
* Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte), so ändert sich die Determinante nicht.
* Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl {$k\not= 0$}, so ändert sich auch die Determinante um den Faktor {$k$}.
!!Entwicklung von Determinanten
Ist {$A$} eine Matrix, so bezeichnet {$A_{ij}$} die Matrix, die durch Streichen der {$i$}-ten Zeile und {$j$}-ten Spalte entsteht. Im Beispiel
$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\qquad
A_{12}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)
$$
Changed lines 7-8 from:
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
to:
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \quad\Leftrightarrow\quad A \;\mbox{ist invertierbar}$$
Changed lines 5-7 from:
Wir hatten bei der Untersuchung der Invertierbarkeit von $2\times 2$-Matrizen $A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ festgestellt, dass der Term $ad-bc$ erkennen lässt, ob die Matrix invertierbar ist.
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
to:
Wir hatten bei der Untersuchung der Invertierbarkeit von {$2\times 2$}-Matrizen {$A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$} festgestellt, dass der Term {$ad-bc$} erkennen lässt, ob die Matrix invertierbar ist.
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
Added lines 1-12:
%right% [[Matrizen06|<<]] Matrizen07 [[Matrizen08|>>]]
!!!Determinanten
Wir hatten bei der Untersuchung der Invertierbarkeit von $2\times 2$-Matrizen $A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ festgestellt, dass der Term $ad-bc$ erkennen lässt, ob die Matrix invertierbar ist.
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern.
%right% [[Matrizen06|<<]] Matrizen07 [[Matrizen08|>>]]
!!!Determinanten
Wir hatten bei der Untersuchung der Invertierbarkeit von $2\times 2$-Matrizen $A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ festgestellt, dass der Term $ad-bc$ erkennen lässt, ob die Matrix invertierbar ist.
$$ \mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \leftrightarrow A \;\mbox{ist invertierbar}$$
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern.
%right% [[Matrizen06|<<]] Matrizen07 [[Matrizen08|>>]]