Definition: Seien \vec{v_1}, \dots \vec{v_n} Vektoren gleicher Dimension und r_1,\dots r_n reelle Zahlen. Dann heißt der Vektor $$\vec{x}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n=\sum_{i=1}^n r_i\vec{v}_i $$ eine Linearkombination von \vec{v}_1, \dots \vec{v}_n.
Beispiele: a) Sei \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) und \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right). Dann ist \left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) eine Linearkombination von \vec{v}_1 und \vec{v}_2, denn $$\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) = 2\cdot\vec{v}_1 +(-3)\cdot\vec{v}_2 =2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)-3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) $$
b) Sei \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right) und \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\0\end{array}\right). Dann ist \left(\begin{array}{c}2\\6\\3\end{array}\right) keine Linearkombination von \vec{v}_1 und \vec{v}_2.
Die Bearbeitung von Aufgabe 5 motiviert die folgende Definition:
Definition: Man nennt eine Menge von Vektoren \{\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} \} linear unabhängig, wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus $$\vec{0}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n $$ notwendig folgt, dass r_1=r_2=\dots =r_n=0. Ist die Menge nicht linear unabhängig, so nennt man sie linear abhängig.
Beispiele: a) Die Menge \left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right)\right\} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem $$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right) $$ besitzt auch nichttriviale Lösungen, wie etwa $$ 2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) -3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) -1\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right). $$
b) Die Menge \left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\} ist linear unabhängig, denn das Gleichungssystem $$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right) $$ Hat die eindeutig bestimmte einzige Lösung r_1=r_2=r_3=0.