LineareAlgebra.Matrizen09 History
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Changed line 8 from:
$$ M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v} $$
to:
{$ M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v} $}
Added line 29:
{+Eigenwerte:+}
Changed line 37 from:
Eigenvektor {$\vec{v}_1$} zum Eigenwert {$\lambda_1 =2 $}:
to:
{+Eigenvektor {$\vec{v}_1$} zum Eigenwert {$\lambda_1 =2 $}:+}
Changed line 46 from:
Eigenvektor {$\vec{v}_2$} zum Eigenwert {$\lambda_2 =3 $}:
to:
{+Eigenvektor {$\vec{v}_2$} zum Eigenwert {$\lambda_2 =3 $}:+}
Changed line 46 from:
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
to:
$$(M-\lambda_2\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
Changed lines 18-19 from:
'''Bemerkung:''' Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch {$\left 2\atop 2 \right)$} oder {$\left -3\atop -3 \right)$} Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
to:
'''Bemerkung:''' Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch {$\left( 2\atop 2 \right)$} oder {$\left( -3\atop -3 \right)$} Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
Changed lines 27-28 from:
'''Ein Beispiel:'''
to:
'''Ein Beispiel:''' Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren von {$M=\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)$}
Changed lines 40-41 from:
Erwartungsgemäß hat diese LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_1=\left(0\atop 1\right)
$$ \vec{v}_1=\left(
to:
Erwartungsgemäß hat dieses LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_1=\left( 1\atop 0\right)
$$ \vec{v}_1=\left( 1\atop 0\right)
Changed lines 44-52 from:
Ein weiteres Beispiel:
pq- Formel anwenden:
$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$
Man erhält für den Eigenwert {$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und für den Eigenwert {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$} .
EV {$\vec{v_1}$} zum EW {$\lambda_1$}
to:
Eigenvektor {$\vec{v}_2$} zum Eigenwert {$\lambda_2 =3 $}:
Added lines 46-60:
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -3\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{cc} -1&4\\0&0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Hier sind die Lösungen alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_2=\left( 4\atop 1\right)
$$
'''Ein weiteres Beispiel:'''
$$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$
pq- Formel anwenden:
$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$
Man erhält für den Eigenwert {$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und für den Eigenwert {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$} .
EV {$\vec{v_1}$} zum EW {$\lambda_1$} :
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
$$\left(\begin{array}{cc} -1&4\\0&0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Hier sind die Lösungen alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_2=\left( 4\atop 1\right)
$$
'''Ein weiteres Beispiel:'''
$$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$
pq- Formel anwenden:
$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$
Man erhält für den Eigenwert {$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und für den Eigenwert {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$} .
EV {$\vec{v_1}$} zum EW {$\lambda_1$} :
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
Changed lines 38-40 from:
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -
to:
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -2\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{cc} 0&4\\0&1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Erwartungsgemäß hat diese LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_1=\left( 0\atop 1\right)
$$
$$\left(\begin{array}{cc} 0&4\\0&1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Erwartungsgemäß hat diese LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von
$$ \vec{v}_1=\left( 0\atop 1\right)
$$
Changed lines 18-19 from:
'''Bemerkung:''' Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch {$\left 2\atop 2$} oder {$\left -3\atop -3$} Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
to:
'''Bemerkung:''' Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch {$\left 2\atop 2 \right)$} oder {$\left -3\atop -3 \right)$} Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
Changed lines 37-40 from:
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
$$\left[\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}-\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
$$\left[\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}
to:
$$(M-\lambda_1\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Changed lines 10-11 from:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\qquad \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Changed lines 18-19 from:
to:
'''Bemerkung:''' Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch {$\left 2\atop 2$} oder {$\left -3\atop -3$} Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
Changed lines 23-27 from:
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$
Da {$\vec{w}=\vec{0}$} kann {$(M-\lambda\cdot E_n)$} nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.
Im
Da {$\vec{
Im
to:
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
Da {$\vec{v}\not= \vec{0}$} kann {$(M-\lambda\cdot E_n)$} nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss Null sein. Tatsächlich ist jedes {$\lambda$}, für das die Matrix {$\vec{v}\not= \vec{0}$} nicht invertierbar ist, ein Eigenwert von {$M$}.
'''Ein Beispiel:'''
Da {$\vec{v}\not= \vec{0}$} kann {$(M-\lambda\cdot E_n)$} nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss Null sein. Tatsächlich ist jedes {$\lambda$}, für das die Matrix {$\vec{v}\not= \vec{0}$} nicht invertierbar ist, ein Eigenwert von {$M$}.
'''Ein Beispiel:'''
Changed lines 33-35 from:
Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem {$ M\cdot \vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}$}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.
Beispiel:
Beispiel:
to:
Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem {$ M\cdot \vec{v}=\lambda\cdot\vec{v}$}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.
Eigenvektor {$\vec{v}_1$} zum Eigenwert {$\lambda_1 =2 $}:
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
$$\left[\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}-\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Ein weiteres Beispiel:
Eigenvektor {$\vec{v}_1$} zum Eigenwert {$\lambda_1 =2 $}:
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$
$$\left[\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}-\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Ein weiteres Beispiel:
Changed line 48 from:
to:
EV {$\vec{v_1}$} zum EW {$\lambda_1$} :
Changed lines 53-54 from:
to:
Changed lines 6-7 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbb{R}$}, wenn gilt:
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\neq 0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbb{R}$}, wenn gilt:
Changed lines 19-21 from:
to:
'''Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M'''
Es gilt:
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$
Da {$\vec{w}=\vec{0}$} kann {$(M-\lambda\cdot E_n)$} nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.
Im Beispiel:
$$M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$
$$det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0$$
Hier kann man die Nullstellen {$\lambda_1 =2 $} und {$\lambda_2 =3 $} leicht ablesen.
Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem {$ M\cdot \vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}$}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.
Beispiel:
$$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$
pq- Formel anwenden:
$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$
Man erhält für den Eigenwert {$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und für den Eigenwert {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$} .
Der {$\vec{v_1}$} zu {$\lambda_1$} :
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Man erhält nun 2 lineare Gleichungssysteme, die man jeweils nach x und y auflöst.
Somit erhält man für den Vektor {$\vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)$}
Den Vektor {$\vec{v_2}$} zum Eigenwert {$\lambda_2 $} erhält man auf die gleiche Weise.
Es gilt:
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$
Da {$\vec{w}=\vec{0}$} kann {$(M-\lambda\cdot E_n)$} nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.
Im Beispiel:
$$M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$
$$det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0$$
Hier kann man die Nullstellen {$\lambda_1 =2 $} und {$\lambda_2 =3 $} leicht ablesen.
Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem {$ M\cdot \vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}$}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.
Beispiel:
$$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$
pq- Formel anwenden:
$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$
Man erhält für den Eigenwert {$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und für den Eigenwert {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$} .
Der {$\vec{v_1}$} zu {$\lambda_1$} :
$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$
$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$
$$\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$
Man erhält nun 2 lineare Gleichungssysteme, die man jeweils nach x und y auflöst.
Somit erhält man für den Vektor {$\vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)$}
Den Vektor {$\vec{v_2}$} zum Eigenwert {$\lambda_2 $} erhält man auf die gleiche Weise.
Changed lines 6-7 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbold{R}$}, wenn gilt:
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbb{R}$}, wenn gilt:
Added lines 1-22:
%right% [[Matrizen08|<<]] Matrizen09 [[Matrizen10|>>]]
!! Eigenwerte und Eigenvektoren
Fixgeraden bei affinen Abbildungen und stationäre Zustände bei Prozessen motivieren beide die folgende Definition:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbold{R}$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v} $$
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Hier ist {$M\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Also gilt: {$M\cdot\vec{v}=4\cdot\vec{v}$}
Somit ist {$\vec{v}$} Eigenvektor von {$M$} zum Eigenwert 4.
%right% [[Matrizen08|<<]] Matrizen09 [[Matrizen10|>>]]
!! Eigenwerte und Eigenvektoren
Fixgeraden bei affinen Abbildungen und stationäre Zustände bei Prozessen motivieren beide die folgende Definition:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{v}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{v}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{v}$} heißt '''Eigenvektor''' von {$M$} zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in \mathbold{R}$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v} $$
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Hier ist {$M\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Also gilt: {$M\cdot\vec{v}=4\cdot\vec{v}$}
Somit ist {$\vec{v}$} Eigenvektor von {$M$} zum Eigenwert 4.
%right% [[Matrizen08|<<]] Matrizen09 [[Matrizen10|>>]]