Wir hatten bei der Untersuchung der Invertierbarkeit von 2\times 2-Matrizen A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) festgestellt, dass der Term ad-bc erkennen lässt, ob die Matrix invertierbar ist.
\mbox{det}(A)=ad-bc\not= 0 \quad\Leftrightarrow\quad A \;\mbox{ist invertierbar}
Dieses Konzept lässt sich auf beliebige quadratische Matrizen erweitern: Einer quadratischen Matrix A kann man eine eindeutig bestimmte Zahl, die Determinante zuordnen. Man schreibt dafür \mbox{det}(A). Die Determinante hat folgende Eigenschaften:
Ist A eine Matrix, so bezeichnet A_{ij} die Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
Beispiel:
$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\qquad A_{12}=\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)\qquad A_{31}=\left(\begin{array}{cc} 2&3\\5&6\end{array}\right) $ Mit dieser Schreibweise kann man eine Entwicklungsformel angeben, mit deren Hilfe man Determinanten rekursiv berechnen kann. Die Formeln sehen auf den ersten Blick komplizert aus, sind aber in der Anwendung einfach. Die Beispiele werden dies verdeutlichen.
Satz: Sei A eine n\times n-Matrix. Dann gilt $\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot \mbox{det}(A_{ik})\qquad\mbox{Entwicklung nach der i-ten Zeile}$
$\mbox{det}(A)\; =\; \sum_{k=0}^n (-1)^{k+j}\cdot a_{kj}\cdot \mbox{det}(A_{kj})\qquad\mbox{Entwicklung nach der j-ten Spalte}$
In der Summe rechts steht zwar immer noch eine Determinante, aber die Matrizen, von denen Determinanten zu berechnen sind, werden immer kleiner. Da wir die Determinante von 2\times 2-Matrizen berechnen können, kann man durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsformel die Determinante schließlich berechnen.
Beispiel 1: Wir verwenden die Matrix A von oben und entwickeln nach der ersten Zeile.
$$\mbox{det}(A)=\mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \mbox{det}(A_{11})+ (-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \mbox{det}(A_{12})+ (-1)^{1+3}\cdot 3\cdot \mbox{det}(A_{13}) $$ $$=1\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&6\\8&9\end{array}\right)-2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&6\\7&9\end{array}\right)+3\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&5\\7&8\end{array}\right) $$ $$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)=0$$
Beispiel 2: Besonders effektiv ist die Entwicklung, wenn eine Spalte oder Zeile viele Nullen enthält. Dazu entwickeln wir die folgende Matrix zuerst nach der dritten Spalte:
$$ B= \left(\begin{array}{cccc} 2&-2&0&0\\0&4&1&-1\\5&0&2&1 \\ -1&0&0&2\end{array}\right) $$
$$\mbox{det}(B)=0+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot \mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\5&0&1 \\ -1&0&2\end{array}\right) + (-1)^{3+3}\cdot 2\cdot \mbox{det}\left(\begin{array}{ccc} 2&-2&0\\0&4&-1 \\ -1&0&2\end{array}\right) + 0 $$
Die Determinanten der 3\times 3-Matrizen kann man nun wieder geeignet entwickeln. Die erste Matrix nach der zweiten Spalte und die zweite Matrix nach der ersten Zeile.
$$\mbox{det}(B)= -\left[-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 5&1\\-1&2\end{array}\right)\right] +2\cdot\left[2\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 4&-1\\0&2\end{array}\right)-(-2)\cdot\mbox{det}\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\-1&2\end{array}\right)\right] $$ $$= -\left[-(-2)\cdot 11\right] +2\cdot\left[2\cdot 8 +2\cdot (-1)\right] =6 $$