mit einer Abbildungsmatrix M und einem Verschiebungsvektor \vec{v} heißt affine Abbildung.

$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(-\frac{12}{5}\atop \frac{6}{5}\right)

$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-\frac{12}{5}\atop \frac{6}{5}\right)

$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)

$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)

Geogebra-Datei zu Spiegelungen

Für eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte P(-2|-1) und Q(3|5) ergibt sich als Steigung m=2 und damit für die Spiegelmatrix $$ S= \left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{array}\right)= \frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc} 1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right) $$

Für den Verschiebungsvektor ergibt sich $$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(2\atop 4\right) $$

Insgesamt ergibt sich als Abbildungsvorschrift $$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right) $$ Geogebra-Datei zu Drehungen

Geogebra-Datei zu Drehungen

Beispiel 3: Spiegelungen an beliebigen Geraden

Die Vorgehensweise, um die Abbildungsvorschrift einer Spiegelung an einer beliebigen Geraden zu erhalten, ist analog zu den Drehungen. Man führt zuerst eine Verschiebung durch, die die Gerade zu einer Ursprungsgeraden macht. Dann wendet man die passende Spiegelmatrix S an und verschiebt zurück. Für die Verschiebung kann jeder Punkt \vec{p} der Geraden verwendet werden. $$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{p} \mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})\mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p} = S\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{p}-S\cdot\vec{p}}_{=\vec{v}}$$

$$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(2\atop 4\right)

Insgesamt ergibt sich als Abbildungsvorschrift $$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right) $$

Für eine Drehung um 270° um den Punkt Z(3|1) erhält man die Drehmatrix

und den Verschiebungsvektor $$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(3\atop 1\right) $$

\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)

Für eine Drehung um 270° um den Punkt Z(3|1) erhält man die Drehmatrix: $$ D = \left(\begin{array}{cc} \cos(270°)&-\sin(270°)\\\sin(270°)&cos(270°)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0&1\\\-1&0\end{array}\right) $$

$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} = D\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{z}-D\cdot\vec{z}}_{=\vec{v}}$$

$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} = D\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{z}-D\cdot\vec{z}}$$

$$ A:\vec{x}\mapsto\vec{x}'=M\cdot\vec{x}+\vec{v} $$

Beispiel 2: Drehung um ein beliebiges Zentrum

Um die Abbildungsvorschrift einer Drehung um den Winkel \alpha um das Drehzentrum \vec{z} zu erhalten, verschiebt man zuerst so, dass das Drehzentrum im Ursprung liegt, dreht dann mit der passenden Drehmatrix D und schiebt wieder zurück: $$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} $$

$$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-4\atop 2\right)

bildet die Punkte \vec{p},\quad\vec{q} und \vec{r} wie dargestellt ab. Es handelt sich um eine Spiegelung an der Geraden g mit der Steigung 2 durch den Punkt \left(0\atop 5\right).

Beispiel 1: Die Abbildung $$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(3\atop 4\right) $$

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Affine Abbildungen

Definition: Eine Abbildung $$ \vec{x}\mapsto\vec{x}'=A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$ mit einer Abbildungsmatrix A und einem Verschiebungsvektor \vec{v} heißt affine Abbildung.

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