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Fixelemente von affinen Abbildungen
Definition: Ein Punkt \vec{p} heißt Fixpunkt der affinen Abbildung
\vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}+\vec{v}
wenn der Punkt auf sich selbst abgebildet wird, wenn also gilt
\vec{p}=A\cdot\vec{p}+\vec{v}
Definition: Eine Gerade g heißt Fixgerade,
wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).
Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade
Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (1|0) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift:
\vec{x}\mapsto\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
Eine Parameterdarstellung der Spiegelgeraden ist etwa
g:\vec{x}=\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
Setzt man nun einen Punkt der Geraden in die Abbildung ein, so erhält man:
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
=\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
=\left(0{,}6 \atop 0{,}8\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
=\left(1 \atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
Dies ist der ursprüngliche Punkt. Damit ist gezeigt, dass jeder Punkt der Spiegelachse ein Fixpunkt ist. Die Spiegelachse ist also eine Fixpunktgerade.
Beispiel 2: Eine senkrechte Gerade zur Spiegelachse einer Spiegelung ist keine Fixpunktgerade aber eine Fixgerade
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m, wenn sie die Steigung -\frac{1}{m} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung -2 hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen
h:\vec{x}=\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right)
Man sieht an der Steigung, dass
h\perp g. Lässt man die Abbildung auf einen Punkt der Geraden los, so ergibt sich:
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )
=\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right)
Nun bleibt noch zu zeigen, dass dieser Punkt auf der Geraden
h liegt.
\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) = \left(3\atop 5\right)+s\cdot\left(1\atop -2\right)
Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert
s=3{,}2-t. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden
h, im allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für
t=1{,}6=s ergibt sich der Fixpunkt
\left(4{,}6\atop 1{,}8\right), denn dies ist der Schnittpunkt von
h und
g.
Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung
Hier verwendet man den Ansatz:
\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) =\vec{x}
Löst man dieses LGS, so erhält man unendlich viele Lösungen:
L=\left\{ \vec{x}=\left( x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right\}
Dies sind (wie erwartet) die Punkte der Spiegelachse aus Beispiel 1.
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