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Übungsaufgaben: Rechnen mit Matrizen II

Aufgabe 1 Gegeben sind folgende Matrizen. Berechne -falls möglich- die inverse Matrix. Kontrolliere das Ergebnis durch eine Multiplikation.

\[ A=\left(\begin{array}{cc}2 &3 \\ -5 & 1 \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}-3 &1\\6& -2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 &4 &-2 \\ 2 & 3&5 \\0&1&1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc}3 &1& -2\\ 4 & 1&0 \\1&0 & 2\end{array}\right) \]

Aufgabe 2 Untersuche, wann eine (2,2)-Matrix A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) invertierbar ist und bestimme allgemein die Inverse.

Aufgabe 3 Begründe, dass man (im Falle der Invertierbarkeit) bei der Anwendung des Gaußverfahrens auf die Matrix (A|E_n) die inverse Matrix erhält. (Hinweis: Betrachte die Spalten von A als Vektoren.)

Aufgabe 4 Weise an der Matrix $$A=\left(\begin{array}{cccc}-1 &3 &-2 &4\\ 2 & 0&3&5 \\0&1&1&0 \\ -2&0&1&0 \end{array}\right) $$ exemplarisch die im Determinantenkapitel genannten Eigenschaften nach:

  • Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen.
  • Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte), so ändert sich die Determinante nicht.
  • Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl k\in \mathbb{R} , so ändert sich auch die Determinante um den Faktor k.

Aufgabe 5 Stelle die Vektoren \vec{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right) und \vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) als Linearkombination von \vec{v}_1, \vec{v}_2 und \vec{v}_3 dar für $$\mbox{a)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right) $$ $$\mbox{b)}\qquad \vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}1\\4\\2\end{array}\right) $$ Gibt es mehrere Möglichkeiten?

Aufgabe 6 Prüfe auf lineare Unabhängigkeit. $$\mbox{a)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}8\\3\\4\end{array}\right)\right\} \qquad \mbox{b)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \right\} \qquad \mbox{c)}\;\left\{\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}2\\7\end{array}\right)\right\} $$

Aufgabe 7 Zeige: Ist \{\vec{v}_1 ,\vec{v}_2\} linear abhängig, so ist einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen.

Aufgabe 8 Zeige: Ist \{\vec{v}_1 ,\vec{v}_2\} linear unabhängig, so sind auch die folgenden Mengen linear unabhängig: $$\mbox{a)}\; \{\vec{v}_1 ,\vec{v}_1+\vec{v}_2\}\qquad \mbox{b)}\; \{\vec{v}_1+\vec{v}_2 ,\vec{v}_2-\vec{v}_1\} $$

Aufgabe 9 Gegeben sind die Vektoren $$\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}2\\4\\0\\0\end{array}\right)\; \vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_4=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\3\end{array}\right) \; \vec{v}_5=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right) $$

a) Zeige, dass \{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_4\} linear abhängig ist.
b) Zeige, dass \{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\} linear abhängig ist.
c) Finde ein \vec{v}_j, das man durch die übrigen darstellen kann.
d) Finde ein \vec{v}_j, das man nicht durch die übrigen darstellen kann.
e) Finde eine maximale linear unabhängige Teilmenge von \{\vec{v}_1 ,\dots,\vec{v}_5\}.

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