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Fixgeraden von affinen Abbildungen

Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung und sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:

$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$ $$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u}} $$ $$=\vec{b}+t\cdot\vec{u}$$

Das Bild von g ist somit h:\vec{x}\mapsto\vec{b}+t\cdot\vec{u} Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist h wieder eine Gerade.

Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade h wieder die ursprüngliche Gerade g ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?

Die Geraden haben die Form:

$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} \quad t\in\mathbb{R} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} \quad s\in\mathbb{R} $$

Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.

(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss \lambda\in\mathbb{R} geben, so dass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die gleiche Richtung).

Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:

$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$

Dies bedeutet, dass \vec{w} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda ist.

Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix

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