LineareAlgebra.Abbildungen10 History
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''Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'''
to:
'''Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'''
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to:
$$=\vec{b}+t\cdot\vec{u}$$
Changed lines 28-29 from:
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
to:
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
Changed lines 32-35 from:
Dies heißt, dass {$\vec{w}$} ein [[Matrizen09|Eigenvektor]] von {$M$} zum [[Matrizen09|Eigenwert]] {$\lambda$} ist.
[[Matrizen09|-> Eigenwerte und Eigenvektoren]]
to:
Dies bedeutet, dass {$\vec{w}$} ein [[Matrizen09|Eigenvektor]] von {$M$} zum [[Matrizen09|Eigenwert]] {$\lambda$} ist.
''Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'''
''Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'''
Changed lines 9-10 from:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u} $$
to:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u}} $$
Changed lines 21-22 from:
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
to:
Damit {$h=g$} ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
Added lines 31-32:
Dies heißt, dass {$\vec{w}$} ein [[Matrizen09|Eigenvektor]] von {$M$} zum [[Matrizen09|Eigenwert]] {$\lambda$} ist.
Changed lines 9-15 from:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$
Ist\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder die ursprüngliche Gerade ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?
Die Geraden g und h sind gegeben:
Ist
Die Geraden g und h sind gegeben
to:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u} $$
Das Bild von {$g$} ist somit {$ h:\vec{x}\mapsto\vec{b}+t\cdot\vec{u} $}
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist {$h$} wieder eine Gerade.
Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade {$h$} wieder die ursprüngliche Gerade {$g$} ist (denn dann ist {$g$} eine Fixgerade)?
Die Geraden haben die Form:
Das Bild von {$g$} ist somit {$ h:\vec{x}\mapsto\vec{b}+t\cdot\vec{u} $}
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist {$h$} wieder eine Gerade.
Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade {$h$} wieder die ursprüngliche Gerade {$g$} ist (denn dann ist {$g$} eine Fixgerade)?
Die Geraden haben die Form:
Changed lines 25-26 from:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
to:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss {$\lambda\in\mathbb{R}$} geben, so dass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die gleiche Richtung).
Changed lines 9-11 from:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v}
to:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Changed lines 5-6 from:
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung. Sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
to:
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung und sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
Changed lines 12-13 from:
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
to:
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder die ursprüngliche Gerade ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?
Changed lines 16-19 from:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w}
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u}$$
Dabei sind t unds Elemente der reelen Zahlen.
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u}
Dabei sind t und
to:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} \quad t\in\mathbb{R} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} \quad s\in\mathbb{R} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} \quad s\in\mathbb{R} $$
Changed lines 13-14 from:
to:
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
[[Matrizen09|-> Eigenwerte und Eigenvektoren]]
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
[[Matrizen09|-> Eigenwerte und Eigenvektoren]]
Changed lines 13-14 from:
[[Abbildungen11|>>]]
to:
[[Abbildungen11|-> Eigenwerte und Eigenvektoren]]
Changed lines 11-12 from:
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
to:
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Changed lines 11-12 from:
Ist {$\vec{u} $}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
to:
Ist {$\vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Changed lines 11-14 from:
to:
Ist {$\vec{u} $}, so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
[[Abbildungen11|>>]]
[[Abbildungen11|>>]]
Changed line 8 from:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
to:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot M\cdot \vec{w} $$
Changed lines 8-11 from:
$$ = M\cdot\vec{a}+v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$
to:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Changed lines 8-11 from:
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
to:
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Changed lines 7-9 from:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
to:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Changed lines 5-9 from:
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung. Sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt mand ie Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdotM\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\
to:
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung. Sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
Changed lines 3-35 from:
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in IR$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Hier ist {$M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Also gilt: {$M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}$}
Somit ist {$\vec{w}$} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
to:
!! Fixgeraden von affinen Abbildungen
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung. Sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt mand ie Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdotM\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
Sei {$ A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} $} eine affine Abbildung. Sei {$ g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $} eine Gerade. Lässt mand ie Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdotM\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
Changed lines 1-2 from:
%right% [[Abbildungen10|<<]] Abbildungen11 [[Abbildungen12|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
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%right% [[Abbildungen10|<<]] Abbildungen11 [[Abbildungen12|>>]]
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%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
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%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
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%right% [[Abbildungen10|<<]] Abbildungen11 [[Abbildungen12|>>]]
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%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen10|<<]] Abbildungen11 [[Abbildungen12|>>]]
Changed lines 15-25 from:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} $$
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$Lambda$} {$Element$} {$der$} {$reellen$} {$Zahlen$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= Lambda\cdot\vec{w} $$
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=
$$ M\cdot\vec{w}=
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$
$$ M
to:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = \lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in IR$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$\lambda \in IR$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$
Changed lines 22-23 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$Lambda$} {$Element$} {$der$} {$reellen$} {$Zahlen$}, wenn gilt:
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrix und {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$Lambda$} {$Element$} {$der$} {$reellen$} {$Zahlen$}, wenn gilt:
Changed lines 22-23 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigentwert''' {$Lambda{ }Element{ }der{ }reellen{ }Zahlen$}, wenn gilt:
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigenwert''' {$Lambda$} {$Element$} {$der$} {$reellen$} {$Zahlen$}, wenn gilt:
Changed lines 22-23 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigentwert''' {$Lambda Element der reellen Zahlen$}, wenn gilt:
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigentwert''' {$Lambda{ }Element{ }der{ }reellen{ }Zahlen$}, wenn gilt:
Changed lines 13-14 from:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
to:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
Added line 16:
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Dabei sind t und s Element der reelen Zahlen.
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Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Changed lines 31-34 from:
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
to:
Somit ist {$\vec{w}$} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
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Also gilt: {$M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}$}
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
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to:
Hier ist {$M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
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'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Changed lines 25-28 from:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}$}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)$}
Changed lines 25-28 from:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right$}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}$}
Changed lines 25-28 from:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right§}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right$}
Changed lines 25-28 from:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right§}
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'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$}
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$} {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
Changed lines 25-28 from:
to:
'''Beispiel:''' {$ M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)$}
Changed lines 21-23 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}.
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}. Der Vektor {$\vec{w}$} heißt '''Eigenvektor''' von M zum '''Eigentwert''' {$Lambda Element der reellen Zahlen$}, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= Lambda\cdot\vec{w} $$
$$ M\cdot\vec{w}= Lambda\cdot\vec{w} $$
Changed lines 21-23 from:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w} 0$}.
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w}\not=0$}.
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'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$}
to:
'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$} ein n-dimensionaler Vektor mit {$\vec{w} 0$}.
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'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {§\vec{w}$}
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'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {$\vec{w}$}
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'''Definition:'''
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'''Definition:''' Sei M eine (n,n)-Matrixund {§\vec{w}$}
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(i) {$\vec{b}$} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
to:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von {$g$}, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung").
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Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}$}
to:
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}$} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} $$
$$ M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} $$
Changed lines 15-16 from:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u}$} = Lambda{$\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
to:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u} = Lambda\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
Changed lines 13-18 from:
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von\vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von
Wegen
to:
(i) {$\vec{b}$} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u}$} = Lambda{$\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}$}
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von {$\vec{w}$} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass {$\vec{u}$} = Lambda{$\cdot\vec{w}$} (d.h. {$\vec{u}$} und {$\vec{w}$} haben die "gleiche Richtung")
Wegen {$\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}$}
Changed lines 15-16 from:
(ii) {$\vec{u$}$} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
to:
(ii) {$\vec{u}$} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Changed lines 15-16 from:
(ii) {$\vec{u$}} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
to:
(ii) {$\vec{u$}$} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Changed lines 15-16 from:
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
to:
(ii) {$\vec{u$}} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Changed lines 13-14 from:
(i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
to:
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
Changed lines 17-18 from:
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
to:
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
Changed lines 13-16 from:
$$
to:
(i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Changed lines 13-14 from:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
to:
$$ (i)\vec{b}\ ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
Changed lines 13-16 from:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen §§
§§ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") §§
§§
to:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
$$ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") $$
$$ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") $$
Changed lines 7-9 from:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t*\vec{w} $$
$$ h: $$
$$ h: $$
to:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Element der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen §§
§§ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") §§
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
$$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Element der reelen Zahlen.
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen §§
§§ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") §§
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
Changed line 7 from:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
to:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t*\vec{w} $$
Changed line 7 from:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}'=A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
to:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
Changed lines 7-9 from:
$$ g: $$
h:
h:
to:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}'=A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
$$ h: $$
$$ h: $$
Changed lines 3-5 from:
!! Affine Abbildungen
to:
!! Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: $$
h:
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: $$
h:
Changed lines 1-2 from:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen1|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
Changed line 9 from:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen1|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen10 [[Abbildungen11|>>]]
Added lines 1-9:
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen1|>>]]
!! Affine Abbildungen
'''Definition:'''
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen1|>>]]
!! Affine Abbildungen
'''Definition:'''
%right% [[Abbildungen09|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen1|>>]]