Längen und Winkel
Definition:
Sei \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) ein Vektor. Dann nennt man
$$ |\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + ... + {v_n}^2} $$
den Betrag des Vektors \vec{v} .
Beispiel: Sei \vec{v}= \left(3\atop 4\right) . Dann ist |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=5 .
Im zwei- und dreidimensionalen Fall ist dies nach Pythagoras die Länge des Pfeils, der zu \vec{v} gehört.
Erinnerung an die Mittelstufe: Der Cosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras.
c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos(\gamma) ; bei \gamma = 90° wird dies zu c^2 = a^2+b^2 .
Winkel bei Vektoren (in der Ebene):
Zwischen den Längen und dem Winkel \alpha besteht nun folgender Zusammenhang:
|\vec{a}-\vec{b}| ^2 = |\vec{c}| ^2 = |\vec{a}| ^2 + |\vec{b}| ^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)
Schreiben wir nun \vec{a} = \left(a_1\atop a_2 \right) und \vec{b} = \left(b_1\atop b_2 \right) und verwenden die Definition des Betrags, so erhalten wir:
\left| \left( {a_1-b_1} \atop {a_2-b_2} \right) \right| ^2 = \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| ^2 + \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| ^2 - 2 \cdot \left| \left( a_1 \atop a_2 \right) \right| \cdot \left| \left( b_1 \atop b_2 \right) \right| \cdot \cos(\alpha) .
{\sqrt{\left( a_1 - b_1 \right) ^2 + \left( a_2 - b_2 \right) ^2}} ^2 = \sqrt { {a_1}^2 + {a_2} ^2}^2 + \sqrt { {b_1} ^2 + {b_2} ^2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)
{a_1}^2 - 2a_1b_1 + {b_1}^2 + {a_2}^2 - 2a_2b_2 + {b_2}^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)
-2 \cdot \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) = -2 \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)
a_1b_1 + a_2b_2 = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\alpha)
Dies \left( a_1b_1 + a_2b_2 \right) nennt man das Skalarprodukt von \vec{a} und \vec{b} und schreibt dafür \vec{a} \cdot \vec{b} oder <\vec{a},\vec{b}> .
\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( a_1 \atop a_2 \right) \cdot \left( b_1 \atop b_2 \right) = a_1b_1 + a_2b_2
(Achtung: Dieser \cdot ist ein anderer \cdot als bei der Matrixmultiplikation !!!)
Definition: Seien \vec{v}=\left(\begin{array}{aaa} v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right) und \vec{w}=\left(\begin{array}{aaa} w_1\\\vdots\\w_n\end{array}\right) zwei Vektoren.
Dann heißt \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + ... + v_n \cdot w_n das Skalarprodukt von \vec{v} und \vec{w} .
Bemerkung: Für den Winkel \alpha zwischen \vec{v} und \vec{w} gilt \vec{v} \cdot \vec{w} = \left| \vec{v} \right| \cdot \left| \vec{w} \right| \cdot \cos(\alpha) .
Insbesondere gilt: \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 <=> \vec{v} steht senkrecht auf \vec{w} (falls \vec{v} und \vec{w} nicht der Nullvektor sind)
Beispiel: \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right); \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right); \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)
Berechne die Winkel zwischen den Vektoren:
\vec{a};\vec{b}: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \cos(\alpha) $$ also $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} = \frac{ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 +0^2}} = \frac{4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}} $$
$$ \alpha = \cos^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{70}} \right) \approx 61,4° $$
\vec{a};\vec{c}: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \vec{a} \perp \vec{c} $$
\vec{b};\vec{c}: $$ \beta = \cos^{-1} \left( \frac{-3}{\sqrt{15}} \right) \approx 140,8° $$