Die Inverse einer 2\times 2-Matrix
Versucht man, die Inverse zu einer beliebigen Matrix $$ A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) $$ mit dem Gaußverfahren zu finden, so ergeben sich folgende Lösungsschritte:
$$\left ( \begin{array}{ccccc} a&b&|&1&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} |:a\\\quad \end{array}\longrightarrow \left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \quad \\|-c \cdot I \end{array}\longrightarrow\left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&\frac{ad-bc}{a}&|&-\frac{c}{a}&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \quad \\|\cdot \frac{a}{ad-bc}\end{array}$$
$$\longrightarrow \left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \begin{array}{c} |-\frac{b}{a} \cdot II \\ \quad\end{array}\longrightarrow \left ( \begin{array}{ccccc} 1&0&|&\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right)$$ Klammert man den Nenner noch aus, so erhält man: $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \left ( \begin{array}{cc} d&-b\\-c&a \end{array} \right )$$
Damit der erste Umformungsschritt eine Äquivalenzumformung ist, muss man a\neq 0 voraussetzen. Für den dritten Schritt muss zusätzlich gelten: ad-bc \not= 0. Tatsächlich ist diese zweite Bedingung vollkommen ausreichend. Dies zeigt uns der nächste Satz.
Satz: Sei A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right) eine (2,2)-Matrix. Gilt ad-bc \not= 0, so istA invertierbar und $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \left ( \begin{array}{cc} d&-b\\-c&a \end{array} \right )$$
Beweis: Man muss dies nur nachrechnen: $$ A\cdot A^{-1}= \left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right)\cdot \frac{1}{ad-bc} \left ( \begin{array}{cc} d&-b\\-c&a \end{array} \right )= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}ad-bc &-ab+ab \\ cd-cd & ad-bc\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}1 &0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ Genau so ergibt sich A^{-1}\cdot A=E_2.
qed