LineareAlgebra.Abbildungen08 History
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mit einer Abbildungsmatrix {$A$} und einem Verschiebungsvektor {$\vec{v}$} heißt '''affine Abbildung'''.
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mit einer Abbildungsmatrix {$M$} und einem Verschiebungsvektor {$\vec{v}$} heißt '''affine Abbildung'''.
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$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)
to:
$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(-\frac{12}{5}\atop \frac{6}{5}\right)
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$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)
to:
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-\frac{12}{5}\atop \frac{6}{5}\right)
Deleted line 45:
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$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(2\atop 4\right)
to:
$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)
Changed line 55 from:
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right)
to:
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-\frac{12}{5\atop \frac{6}{5\right)
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[[Attach:Drehung.ggb|Geogebra-Datei zu Drehungen]]
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[[Attach:Spiegelung.ggb|Geogebra-Datei zu Spiegelungen]]
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%width=500px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
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%width=300px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
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to:
Für eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte {$P(-2|-1)$} und {$Q(3|5)$} ergibt sich als Steigung {$m=2$} und damit für die Spiegelmatrix
$$
S=
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{array}\right)=
\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc} 1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)
$$
Für den Verschiebungsvektor ergibt sich
$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(2\atop 4\right)
$$
Insgesamt ergibt sich als Abbildungsvorschrift
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right)
$$
[[Attach:Drehung.ggb|Geogebra-Datei zu Drehungen]]
$$
S=
\left(\begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{array}\right)=
\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc} 1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)
$$
Für den Verschiebungsvektor ergibt sich
$$\vec{v}=\vec{p}-S\cdot\vec{p}=\left(-2\atop -1\right)-\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\left(-2\atop -1\right)=\left(2\atop 4\right)
$$
Insgesamt ergibt sich als Abbildungsvorschrift
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right)
$$
[[Attach:Drehung.ggb|Geogebra-Datei zu Drehungen]]
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[[Attach:Drehung.ggb|Geogebra-Datei zu Drehungen]]
'''Beispiel 3: Spiegelungen an beliebigen Geraden'''
Die Vorgehensweise, um die Abbildungsvorschrift einer Spiegelung an einer beliebigen Geraden zu erhalten, ist analog zu den Drehungen. Man führt zuerst eine Verschiebung durch, die die Gerade zu einer Ursprungsgeraden macht. Dann wendet man die passende Spiegelmatrix {$S$} an und verschiebt zurück. Für die Verschiebung kann jeder Punkt {$\vec{p}$} der Geraden verwendet werden.
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{p} \mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})\mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p} = S\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{p}-S\cdot\vec{p}}_{=\vec{v}}$$
'''Beispiel 3: Spiegelungen an beliebigen Geraden'''
Die Vorgehensweise, um die Abbildungsvorschrift einer Spiegelung an einer beliebigen Geraden zu erhalten, ist analog zu den Drehungen. Man führt zuerst eine Verschiebung durch, die die Gerade zu einer Ursprungsgeraden macht. Dann wendet man die passende Spiegelmatrix {$S$} an und verschiebt zurück. Für die Verschiebung kann jeder Punkt {$\vec{p}$} der Geraden verwendet werden.
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{p} \mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})\mapsto S\cdot(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p} = S\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{p}-S\cdot\vec{p}}_{=\vec{v}}$$
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$$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(3\atop 1\right)
to:
$$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(2\atop 4\right)
Changed lines 33-36 from:
to:
Insgesamt ergibt sich als Abbildungsvorschrift
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right)
$$
$$ A:\vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(2\atop 4\right)
$$
Changed line 23 from:
Für eine Drehung um 270° um den Punkt {$Z(3|1)$} erhält man die Drehmatrix:
to:
Für eine Drehung um 270° um den Punkt {$Z(3|1)$} erhält man die Drehmatrix
Changed lines 29-33 from:
to:
und den Verschiebungsvektor
$$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(3\atop 1\right)
$$
$$\vec{v}=\vec{z}-D\cdot\vec{z}=\left(3\atop 1\right)-\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)\cdot\left(3\atop 1\right)=\left(3\atop 1\right)
$$
Changed line 27 from:
\left(\begin{array}{cc} 0&1\\\-1&0\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{cc} 0&1\\-1&0\end{array}\right)
Changed lines 23-29 from:
to:
Für eine Drehung um 270° um den Punkt {$Z(3|1)$} erhält man die Drehmatrix:
$$
D =
\left(\begin{array}{cc} \cos(270°)&-\sin(270°)\\\sin(270°)&cos(270°)\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} 0&1\\\-1&0\end{array}\right)
$$
$$
D =
\left(\begin{array}{cc} \cos(270°)&-\sin(270°)\\\sin(270°)&cos(270°)\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} 0&1\\\-1&0\end{array}\right)
$$
Changed lines 21-23 from:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} = D\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{z}-D\cdot\vec{z}}$$
to:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} = D\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{z}-D\cdot\vec{z}}_{=\vec{v}}$$
Changed lines 21-23 from:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} $$
to:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} = D\cdot\vec{x}+\underbrace{\vec{z}-D\cdot\vec{z}}$$
Changed line 7 from:
$$ \vec{x}\mapsto\vec{x}'=A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
to:
$$ A:\vec{x}\mapsto\vec{x}'=M\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
Added lines 18-23:
'''Beispiel 2: Drehung um ein beliebiges Zentrum'''
Um die Abbildungsvorschrift einer Drehung um den Winkel {$\alpha$} um das Drehzentrum {$\vec{z}$} zu erhalten, verschiebt man zuerst so, dass das Drehzentrum im Ursprung liegt, dreht dann mit der passenden Drehmatrix {$D$} und schiebt wieder zurück:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} $$
Um die Abbildungsvorschrift einer Drehung um den Winkel {$\alpha$} um das Drehzentrum {$\vec{z}$} zu erhalten, verschiebt man zuerst so, dass das Drehzentrum im Ursprung liegt, dreht dann mit der passenden Drehmatrix {$D$} und schiebt wieder zurück:
$$ \vec{x}\mapsto \vec{x}-\vec{z} \mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})\mapsto D\cdot(\vec{x}-\vec{z})+\vec{z} $$
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%width=400px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
to:
%width=500px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
Changed lines 16-17 from:
%width=600px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
to:
%width=400px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
Changed lines 16-17 from:
Attach:AffAbbSpiegelung.png
to:
%width=600px%Attach:AffAbbSpiegelung.png
Changed line 12 from:
$$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(3\atop 4\right)
to:
$$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(-4\atop 2\right)
Changed lines 14-17 from:
to:
bildet die Punkte {$\vec{p},\quad\vec{q} $} und {$\vec{r}$} wie dargestellt ab. Es handelt sich um eine Spiegelung an der Geraden {$g$} mit der Steigung 2 durch den Punkt {$\left(0\atop 5\right)$}.
Attach:AffAbbSpiegelung.png
Attach:AffAbbSpiegelung.png
Changed lines 10-11 from:
to:
'''Beispiel 1:'''
Die Abbildung
$$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(3\atop 4\right)
$$
Die Abbildung
$$ \vec{x}\mapsto\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot\vec{x}+\left(3\atop 4\right)
$$
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%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Längen und Winkel|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
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%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Längen und Winkel|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
Changed lines 1-2 from:
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Längen und Winkel|>>]]
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%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
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%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Längen und Winkel|>>]]
Added lines 1-12:
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
!! Affine Abbildungen
'''Definition:''' Eine Abbildung
$$ \vec{x}\mapsto\vec{x}'=A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
mit einer Abbildungsmatrix {$A$} und einem Verschiebungsvektor {$\vec{v}$} heißt '''affine Abbildung'''.
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]
!! Affine Abbildungen
'''Definition:''' Eine Abbildung
$$ \vec{x}\mapsto\vec{x}'=A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$
mit einer Abbildungsmatrix {$A$} und einem Verschiebungsvektor {$\vec{v}$} heißt '''affine Abbildung'''.
%right% [[Abbildungen07|<<]] Abbildungen08 [[Abbildungen09|>>]]