LineareAlgebra.Abbildungen0103 History
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!!Drehungen um den Ursprung
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!!Drehungen um den Ursprung
Bei der Suche nach der Drehmatrix ist es geschickt, die Bildpunkte von $P(1|0)$} und {$Q(0|1)$} zu bestimmen. Hier erhält man in Abhängigkeit vom Drehwinkel {$\alpha$}: {$P'(\cos(\alpha)|\sin(\alpha))$} und {$Q'(-\sin(\alpha)|\cos(\alpha))$}.
%center% %width=300px%Attach:abbildungen03_1.png
Dies führt wieder zu zwei Bedingungen an die gesuchte Matrix, nämlich:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} \cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\end{array}\right)\quad\mbox{und}\quad
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} -\sin(\alpha)\\\cos(\alpha)\end{array}\right)
$$
Damit erhält man für die Drehmatrix unmittelbar:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right)
$$
Bei der Suche nach der Drehmatrix ist es geschickt, die Bildpunkte von $P(1|0)$} und {$Q(0|1)$} zu bestimmen. Hier erhält man in Abhängigkeit vom Drehwinkel {$\alpha$}: {$P'(\cos(\alpha)|\sin(\alpha))$} und {$Q'(-\sin(\alpha)|\cos(\alpha))$}.
%center% %width=300px%Attach:abbildungen03_1.png
Dies führt wieder zu zwei Bedingungen an die gesuchte Matrix, nämlich:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} \cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\end{array}\right)\quad\mbox{und}\quad
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} -\sin(\alpha)\\\cos(\alpha)\end{array}\right)
$$
Damit erhält man für die Drehmatrix unmittelbar:
$$
\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right)
$$