$$ L=\left\{ \vec{x}=\left( x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right\}

Löst man dieses LGS, so erhält man unendlich viele Lösungen: $$ L=\left{\vec{x}=\left(x_1\atop x_2\right) | x_2=0{,}5x_1-0{,}5 \right} $$ Dies sind (wie erwartet) die Punkte der Spiegelachse aus Beispiel 1.

<< Abbildungen09 >>

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<<? Abbildungen09 >>

$$

<<? Abbildungen09 >>

Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (1|0) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift:

Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m, wenn sie die Steigung -\frac{1}{m} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung -2 hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen

Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert s=3{,}2-t. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden h, im allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für t=1{,}6=s ergibt sich der Fixpunkt \left(4{,}6\atop 1{,}8\right), denn dies ist der Schnittpunkt von h und g.

$$=\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) $$ Nun bleibt noch zu zeigen, dass dieser Punkt auf der Geraden h liegt. $$\left(6{,}2\atop -1{,}4\right)+t\cdot\left(-1\atop 2\right) = \left(3\atop 5\right)+s\cdot\left(1\atop -2\right)

Diese Gleichungssystem ist lösbar und liefert s=3{,}2-t. Also liegt der Punkt wieder auf der Geraden h. Im Allgemeinen sind Urbild und Bild aber verschieden. Lediglich für t=1{,}6 ergibt sich ein Fixpunkt, denn dies ist der Schnittpunkt von h und g.

Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung
Hier verwendet man den Ansatz: $$

Man sieht an der Steigung, dass h\perp g. Lässt man die Abbildung auf einen Punkt der Geraden los, so ergibt sich:

\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$

Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung
Hier verwendet man den Ansatz: $$

Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade
Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (0|1) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift:

Beispiel 2: Eine senkrechte Gerade zur Spiegelachse einer Spiegelung ist keine Fixpunktgerade aber eine Fixgerade
Wir wissen: Eine Gerade ist senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m, wenn sie die Steigung -\frac{1}{m} hat. Jede Gerade, die einen Richtungsvektor der Steigung -\frac{1}{2} hat, ist also senkrecht zur Spiegelachse aus Beispiel 1. Wir untersuchen $$ h:\vec{x}=\left(3\atop 5\right)+t\cdot\left(1\atop -2\right) $$ Man sieht an der Steigung, dass h\perp g

Beispiel 3: Bestimmung aller Fixpunkte einer affinen Abbildung
Hier verwendet man den Ansatz:

Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (0|1) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift:

Beispiel 1: Die Spiegelachse einer Spiegelung ist eine Fixpunktgerade >>Wir? untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (0|1) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift:

\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) =\vec{x}

left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x}

left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right) =\vec{x}

Will man alle Fixpunkte einer Abbildung bestimmen, so verwendet man den Ansatz: $$ left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right )=\vec{x} $$

$$ Dies ist der ursprüngliche Punkt. Damit ist gezeigt, dass jeder Punkt der Spiegelachse ein Fixpunkt ist. Die Spiegelachse ist also eine Fixpunktgerade.

=\left(0{,}6 \atop 0{,}8\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$ $$ =\left(1 \atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)

$$ =\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$ $$ =\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(1\atop 0\right)+t\cdot\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left(2\atop 1\right) + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$

Eine Parameterdarstellung der Spiegelgeraden ist etwa $$ g:\vec{x}=\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right) $$ Setzt man nun einen Punkt der Geraden in die Abbildung ein, so erhält man: $$ \left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \left[\left(1\atop 0\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)\right] + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$

wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).

Beispiel: Wir untersuchen eine Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (0|1) und (3|1). Man erhält für die Abbildungsvorschrift: $$ \vec{x}\mapsto\left( \begin{array}{cc} 0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & -0{,}6 \end{array} \right) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 0{,}4 \\ -0{,}8 \end{array} \right ) $$

$$ \vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}+\vec{v} $$

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Fixelemente von affinen Abbildungen

Definition: Ein Punkt \vec{p} heißt Fixpunkt der affinen Abbildung $$ \vec{x}\mapstoA\cdot\vec{x}+\vec{v} $$ wenn der Punkt auf sich selbst abgebildet wird, wenn also gilt $$\vec{p}=A\cdot\vec{p}+\vec{v} $$

Definition: Eine Gerade g heißt Fixgerade, wenn die Gerade durch die affine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird (Achtung: jeder Punkt der Geraden kann dabei durchaus auf einen anderen Punkt der Geraden abgebildet werden!).