LineareAlgebra.Abbildungen10 History
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Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'
Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix
$$=\vec{b}+t\cdot\vec{u}$$
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
Dies heißt, dass \vec{w} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda ist.
Dies bedeutet, dass \vec{w} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda ist.
Der Richtungsvektor einer Fixgeraden einer affinen Abbildung ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix'
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u} $$
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u}} $$
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
Dies heißt, dass \vec{w} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda ist.
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder die ursprüngliche Gerade ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}}_{=\vec{b} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}}_{=\vec{u} $$
Das Bild von g ist somit h:\vec{x}\mapsto\vec{b}+t\cdot\vec{u} Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist h wieder eine Gerade.
Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade h wieder die ursprüngliche Gerade g ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?
Die Geraden haben die Form:
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss \lambda\in\mathbb{R} geben, so dass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die gleiche Richtung).
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = \underbrace{M\cdot\vec{a}+\vec{v}} + t\cdot \underbrace{M\cdot \vec{w}} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung. Sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung und sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder die ursprüngliche Gerade ist (denn dann ist g eine Fixgerade)?
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} \quad t\in\mathbb{R} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} \quad s\in\mathbb{R} $$
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen. Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Ist \vec{u} , so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Ist \vec{u}\not=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right), so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
Ist \vec{u} , so ist das Bild von g wieder eine Gerade. Was muss erfüllt sein, damit die Bildgerade wieder eine Ursprungsgerade ist?
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot M\cdot \vec{w} $$
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w})+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$ $$ = M\cdot\vec{a}+\vec{v} + t\cdot\cdot M\cdot \vec{w} $$ $$ = \vec{b} + t\cdot \vec{u}$$
Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung. Sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt mand ie Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdotM\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung. Sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt man die Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdot M\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen. Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in IR, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Hier ist M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Also gilt: M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
Fixgeraden von affinen Abbildungen
Sei A:\vec{x}\mapsto M\cdot\vec{x}+\vec{v} eine affine Abbildung. Sei g:\vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} eine Gerade. Lässt mand ie Abbildung auf die Gerade los, so erhält man:
$$ M\cdot(\vec{a}+t\cdot\vec{w}+\vec{v} = M\cdot\vec{a}+t\cdotM\cdot\vec{w}+\vec{v} $$
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} $$
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= Lambda\cdot\vec{w} $$
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = \lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w} $$
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in IR, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= \lambda\cdot\vec{w} $$
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigentwert Lambda{ }Element{ }der{ }reellen{ }Zahlen, wenn gilt:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigentwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigentwert Lambda{ }Element{ }der{ }reellen{ }Zahlen, wenn gilt:
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen.
Dabei sind t und s Element der reelen Zahlen.
Dabei sind t und s Elemente der reelen Zahlen.
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
Also gilt: M\cdot\vec{w}=4\cdot\vec{w}
Somit ist \vec{w} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.
Hier ist M\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right§}
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right§}
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) {$ \vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right
Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0.
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0. Der Vektor \vec{w} heißt Eigenvektor von M zum Eigentwert Lambda Element der reellen Zahlen, wenn gilt:
$$ M\cdot\vec{w}= Lambda\cdot\vec{w} $$
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w} 0.
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w}\not=0.
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w}
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{w} 0.
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund {§\vec{w}$}
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund \vec{w}
Definition:
Definition: Sei M eine (n,n)-Matrixund {§\vec{w}$}
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung").
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} kann man (ii) auch so schreiben:
$$ M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w} $$
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} und \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
(ii) \vec{u$} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u$} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
(i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(i) \vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
Wegen \vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
$$ (i)\vec{b}\ ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
$$ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") $$
(i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen
(ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung")
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
$$ (i)\vec{b}\ ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen §§
§§ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") §§
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen $$
$$ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") $$
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t*\vec{w} $$ $$ h: $$
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t\cdot\vec{w} $$ $$ h: \vec{x}\mapsto\vec{b}+s\cdot\vec{u} $$
Dabei sind t und s Element der reelen Zahlen. Damit h=g ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
$$ (i)\vec{b} ist Element von g, d.h. der Stützvektor der Bildgeraden muss auf der ursprünglichen Gerade liegen §§
§§ (ii) \vec{u} muss ein Vielfaches von \vec{w} sein, d.h. es muss ein Lambda Element der reellen Zahlen geben, sodass \vec{u} = Lambda\cdot\vec{w} (d.h. \vec{u} udn \vec{w} haben die "gleiche Richtung") §§
Wegen\vec{u}=M\cdot\vec{w}=Lambda\cdot\vec{w}
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}+t*\vec{w} $$
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}'=A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$
$$ g: $$ h:
$$ g: \vec{x}\mapsto\vec{a}'=A\cdot\vec{x}*\vec{w} $$ $$ h: $$
Affine Abbildungen
Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Geraden g und h sind gegeben:
$$ g: $$ h: