Man erhält für den Eigenwert \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und für den Eigenwert \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2} .

Man bekommt für den Eigenwert \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und für den Eigenwert \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2} .

Somit erhält man für den Vektor \vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)

Den Vektor \vec{v_2} zum Eigenwert \lambda_2 erhält man auf die gleiche Weise.

Man bekommt für den 1. Eigenwert \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und für den 2- Eigenwert \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2} .

$$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$$ und $$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$$

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$ $$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2}$} und {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$$

$$M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$ $$det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0$$

$$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$} \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und {$\lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}$$

Somit erhält man für den \vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)

Den 2. Vektor \vec{v_2} zum 2.Eigenwert \lambda_2 erhält man auf die gleiche Weise.

Somit erhält man für den \vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)

Man erhält nun 2 lineare Gleichungssysteme, die man jeweils nach x und y auflöst.

Somit erhält man für den {$\vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)

$$\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$

$$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$ $$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$ $$\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\ende{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\ende{array}\right)$$

\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]

M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}

\left\[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right\]

Der \vec{v_1} zu \lambda_1 : {$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v} (M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0} \left\[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right\]$}

M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right) det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0

Der \vec{v_1} zu \lambda_1

\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}

Der {\vec{v_1}$} zu \lambda_1

det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8

\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$ \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2}

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}{8}}$$

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}{8}}

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2}$$ \frac{+}{-}

$$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_1/2 = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_1_,_2 = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_"1,2" = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_(1,2) = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_1,2 = \frac{1}{2}$$

$$\lambda_1,2 = \frac{1}\frac{2}$$

$$ det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$ pq- Formel anwenden: $$\lambda_1,2 = \frac{1}\frac{2}

$$ det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$

Beispiel: $$ det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8

$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$

$M-\lambda\cdot E_n\cdot\vec{w}=\vec{0}$$

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M

Hier kann man die Nullstellen \lambda_1 =2 und \lambda_2 =3 leicht ablesen.

Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem M\cdot \vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.

<< Abbildungen12 >> Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M

Da \vec{w}=\vec{0} kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Hieraus ergeben sich für den Eigenwert_1 \lambda_1 =3

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\documantclass{article} \begin{document}

\end{document}

\documantclass{article} \begin{document} Da \end{document}\vec{w}=\vec{0}$$ kann $$(M-\lambda\cdot E_n)$$ nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

\documantclass{article} \begin{document}

\end{document}

$$ M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$ $$ det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0$$ Hieraus ergeben sich für den Eigenwert_1 \lambda_1 =3

$$ M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$

Da $$\vec{w}=\vec{0}$$ kann $$(M-\lambda\cdot E_n)$$ nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Da #\vec{w}=\vec{0}# kann #(M-\lambda\cdot E_n)# nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Da \vec{w}=\vec{0} kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Da [\vec{w}=\vec{0}] kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Da \vec{w}=\vec{0} kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Da $\vec{w}=\vec{0}$ kann $(M-\lambda\cdot E_n)$ nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$ Da $$\vec{w}=\vec{0}$$ kann $$(M-\lambda\cdot E_n)$$ nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein. Im Beispiel: $$ M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)

$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$

$$M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}$$

M\cdot\vec{w}=\lambda\cdot\vec{w}

M-\lambda\cdotE_n\cdot\vec{w}=\vec{0}

(M-\lambda\cdotE_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M

Es gilt: (M-\lambda E_n) * \vec w = \vec 0

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M