LineareAlgebra.Abbildungen13 History
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Diese Zerlegung funktioniert'''nicht immer''' !
to:
Diese Zerlegung funktioniert '''nicht immer''' !
Changed lines 31-43 from:
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
to:
{$A^{20}\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A^{20}\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
Insgesamt:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=a\cdot\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Fazit:
Die Zerlegung in Eigenvektoren ist eine natürliche Methode, um Matrixpotenzen zu bestimmen.
Diese Zerlegung funktioniert'''nicht immer''' !
Die Matrix A muss dazu genügend Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen.
Matrixpotenzen waren besonders bei Prozessen interessant, deshalb eignet sich dieses Verfahren sehr gut dazu.
Insgesamt:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=a\cdot\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Fazit:
Die Zerlegung in Eigenvektoren ist eine natürliche Methode, um Matrixpotenzen zu bestimmen.
Diese Zerlegung funktioniert'''nicht immer''' !
Die Matrix A muss dazu genügend Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen.
Matrixpotenzen waren besonders bei Prozessen interessant, deshalb eignet sich dieses Verfahren sehr gut dazu.
Changed lines 30-31 from:
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist $$
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
$${$
to:
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
Changed lines 30-33 from:
{
to:
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist $$
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
Changed lines 30-33 from:
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$, also ist $${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
to:
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist
{$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
Changed line 30 from:
$$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$, also ist $${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
to:
$${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$, also ist $${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
Changed lines 29-30 from:
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
to:
Nun gilt ja
$$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$, also ist $${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
$$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$, also ist $${$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}$$
Changed lines 28-29 from:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdotA^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot A^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2{20}\cdot\vec{v_2}$}
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2{20}\cdot\vec{v_2}$}
to:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdot A^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot A^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$}
Changed lines 28-29 from:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdotA^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdotA^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_12{20}\cdot\vec{v_2}$}
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_
to:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdotA^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot A^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2{20}\cdot\vec{v_2}$}
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2{20}\cdot\vec{v_2}$}
Added lines 26-29:
Setzt man die Beziehungen ein erhält man:
$$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdotA^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdotA^{20}\cdot\vec{v_2}$$
Nun gilt ja {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}$}, also ist {$A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}$} und {$A\cdot\vec{v_2}=\lambda_12{20}\cdot\vec{v_2}$}
Changed lines 25-26 from:
$$a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=\vec{p}$$
$$\longrightarrow T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p}\longrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
$$
to:
$$a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=\vec{p}\longrightarrow T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p}\longrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
Changed line 26 from:
$$−> T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p} -> \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
to:
$$\longrightarrow T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p}\longrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
Changed lines 14-15 from:
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=T*\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
to:
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Wir lassen nun eine beliebige Abbildung {$\vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}$} mehrmals hintereinander auf den Punkt {$\vec{p}$} los. Berechne {$A^{20}\cdot\vec{p}$}
Hier hilft die Zerlegung von {$\vec{p}$} in EV:
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$
Man bestimmt zunächst a und b durch ein LGS.
Muss man das für viele Punkte durchführen, ist eine andere Schreibweise effizienter:
$$a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=\vec{p}$$
$$−> T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p} -> \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
$$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Wir lassen nun eine beliebige Abbildung {$\vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}$} mehrmals hintereinander auf den Punkt {$\vec{p}$} los. Berechne {$A^{20}\cdot\vec{p}$}
Hier hilft die Zerlegung von {$\vec{p}$} in EV:
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$
Man bestimmt zunächst a und b durch ein LGS.
Muss man das für viele Punkte durchführen, ist eine andere Schreibweise effizienter:
$$a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=\vec{p}$$
$$−> T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p} -> \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
Changed line 15 from:
$$T^-1\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
to:
$$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Changed line 15 from:
$$T^"-1"\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
to:
$$T^-1\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Changed lines 12-15 from:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T({$\vec{v_1}\vec{v_2}$})
to:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T({$\vec{v_1}\vec{v_2}$}) , dann ist
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=T*\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$T^"-1"\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=T*\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
$$T^"-1"\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Changed line 12 from:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T($\vec{v_1}\vec{v_2}$})
to:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T({$\vec{v_1}\vec{v_2}$})
Changed line 12 from:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T($\vec{v_1}\vec{v_2})$}
to:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T($\vec{v_1}\vec{v_2}$})
Changed line 12 from:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix {$T(\vec{v_1}\vec{v_2}$}
to:
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T($\vec{v_1}\vec{v_2})$}
Changed lines 8-10 from:
$$\vec{p}'}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'
to:
$$\vec{p}'=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'$}?
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix {$T(\vec{v_1}\vec{v_2}$}
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'$}?
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix {$T(\vec{v_1}\vec{v_2}$}
Changed lines 8-10 from:
$$\vec{p}´}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}´}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}
to:
$$\vec{p}'}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}'}$}?
Changed lines 8-10 from:
$$\vec{p^´}
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^´}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p
to:
$$\vec{p}´}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}´}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p}´}$}?
Changed lines 8-10 from:
$$\vec{p^"´"}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^"´"}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^
to:
$$\vec{p^´}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^´}$}?
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^´}$}?
Changed lines 1-10 from:
%right% [[Abbildungen12|<<]] Abbildungen13 [[Abbildungen14|>>]]
to:
%right% [[Abbildungen12|<<]] Abbildungen13 [[Abbildungen14|>>]]
!! Die Darstellung eines Punktes als Linearkombination von Eigenvektoren (EV)
Wenn man einen Punkt als Linearkombination von EV darstellen kann, lässt sich das Bild leicht angeben:
$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$
$$\vec{p^"´"}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^"´"}$}?
!! Die Darstellung eines Punktes als Linearkombination von Eigenvektoren (EV)
Wenn man einen Punkt als Linearkombination von EV darstellen kann, lässt sich das Bild leicht angeben:
$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$
$$\vec{p^"´"}=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von {$\vec{p^"´"}$}?
Added line 1:
%right% [[Abbildungen12|<<]] Abbildungen13 [[Abbildungen14|>>]]