Invertierbarkeit von Matritzen
Untersuchung/Begründung siehe unten!
Invertieren der Matrix:
$$\left ( \begin{array}{ccccc} a&b&|&1&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} |:a\\ .\end{array}$$
$$\left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} . \\|-c \cdot I \end{array}$$
$$\left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&\frac{ad-bc}{a}&|&-\frac{c}{a}&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} . \\|\cdot \frac{a}{ad-bc}\end{array}$$
$$\left ( \begin{array}{ccccc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \begin{array}{c} |-\frac{b}{a} \cdot II \\ .\end{array}$$
$$\left ( \begin{array}{ccccc} 1&0&|&\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right)$$
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \left ( \begin{array}{cc} d&-b\\-c&a \end{array} \right )$$
Dies ist aber nur definiert für ad-bc \not= 0. Also existiert keine inverse Matrix, wenn ad=bc.
Übrigens schreibt man auch:
$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)} \left ( \begin{array}{cc} d&-b\\-c&a \end{array} \right )$$
Also darf die Determinante der Matrix nicht 0 sein.