Aufgaben07: Aufgabe 1
Wir wollen herausfinden, welche dieser 5 Geraden gleich sind.
a:\vec{a}(t)=\left(3\atop 4\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
b:\vec{b}(t)=\left(1\atop 4\right)+t\cdot\left(2\atop 3\right)
c:\vec{c}(t)=\left(1\atop 3\right)+t\cdot\left(-4\atop -2\right) = \left(1\atop 3\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
d:\vec{d}(t)=\left(-1\atop 2\right)+t\cdot\left(3\atop 2\right)
e:\vec{e}(t)=\left(-3\atop 1\right)+t\cdot\left(8\atop 4\right) = \left(-3\atop 1\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
\vec{a}║\vec{c}║\vec{e}
\vec{b}╫\vec{a},\vec{c},\vec{d},\vec{e}
\vec{d}╫\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{e}
Da nur \vec{a},\vec{c},\vec{e} parallel sind, müssen wir nur noch prüfen, ob sie auch noch einen gemeinsamen Punkt haben, um herauszufinden, ob sie auch gleich sind.
Wir nehmen den Punkt \left(3\atop 4\right) aus \vec{a} und setzten ihn in \vec{c} und \vec{e} ein.
In der ersten Gleichung lösen wir nach t auf und setzten dieses t dann in die Zweite ein, in welcher wir dann das Ergebnis erwarten.
\vec{c} : \left(3\atop 4\right) = \left(1\atop 3\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
$$ 3=1+2t => t=1 $$ $$ 4=3+t=3+1=4 $$
\vec{e} : \left(3\atop 4\right) = \left(-3\atop 1\right)+t\cdot\left(2\atop 1\right)
$$ 3=-3+2t => t=3$$ $$ 4=1+t=1+3=4$$
Da wir nun festgestellt haben, dass \vec{a},\vec{c},\vec{e} parallel sind und alle drei durch einen gemeinsamen Punkt gehen, haben wir somit herausgefunden, dass sie gleich sind.