1.)Anders als in Aufgabe 02/04 leben die Käfer noch ein Jahr weiter und legen dann nochmals 6 Eier.
Gozintograph:
Daraus ergibt sich die folgende Übergangsmatrix:
$$M= \left( \begin {array}{dddd} 0&0&6&6\\\frac{1}{2}&0&0&0\\0&\frac{1}{3}&0&0\\0&0&1&0 \end{array} \right) $$
mit dem Startvektor: $$k= \left(\begin{array}{aaaa} 30\\30\\30\\0\end{array}\right) $$
2.)Berechnen Sie nun die Matrixpotenzen M², M³ und M^4:
$$M²= \left( \begin {array}{dddd} 0&0&6&6\\\frac{1}{2}&0&0&0\\0&\frac{1}{3}&0&0\\0&0&1&0 \end{array} \right) \cdot\left( \begin {array}{dddd} 0&0&6&6\\\frac{1}{2}&0&0&0\\0&\frac{1}{3}&0&0\\0&0&1&0 \end{array} \right)= \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \end{array} \right)$$
$$M³= \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin {array}{dddd} 0&0&6&6\\\frac{1}{2}&0&0&0\\0&\frac{1}{3}&0&0\\0&0&1&0 \end{array} \right)=\left ( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
$$M^4=\left ( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin {array}{dddd} 0&0&6&6\\\frac{1}{2}&0&0&0\\0&\frac{1}{3}&0&0\\0&0&1&0 \end{array} \right)= \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 6 & 6 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
3.) Diese Käferpopulation wächst rasch an. Deshalb die Frage, wie wird die Entwicklung der Käferpopulation wieder zyklisch?
Um dies herauszufinden betrachte man sich die Übergangsmatrix mit Variablen an den entscheidenden Stellen:
$$ M=\left(\begin{array}{dddd} 0&0&a&b\\c&0&0&0\\0&d&0&0\\0&0&e&0\end{array}\right)$$
Multipliziert mit dem Startvektor k ergeben sich folgende Vektoren für die Jahre 1 bis 4:
$$ k_1= \left(\begin{array}{aaaa} 30a\\30c\\30d\\30e \end{array}\right) $$
$$k_2= \left(\begin{array}{aaaa} 30ad+30be\\30ac\\30dc\\30de \end{array}\right)$$
$$k_3= \left(\begin{array}{aaaa} 30acd+30bde\\30acd+30bce\\30acd\\30cde \end{array}\right)$$
$$k_4= \left(\begin{array}{aaaa} 30a²cd+30bcde\\30ac²d+30bcde\\30acd²+30bcde\\30acde \end{array}\right)$$
Am Vektor k_4 erkennt man, dass wenn für a=0 und bcde=1 eingesetzt wird wieder der Ausgangsvektor k entsteht.
Die Populationsentwicklung wird also wieder zyklisch, wenn die Käfer im ersten Jahr keine Eier legen und die Summe aus Eieranzahl (b), Entwicklung zur Larve (c), Entwicklung zum Käfer (d) und Überleben der Käfer (e) 1 ergibt. In diesem Rahmen sind die Zahlen variabel.
$$M_z= \left(\begin{array}{dddd} 0&0&0&b\\c&0&0&0\\0&d&0&0\\0&0&e&0 \end{array}\right) für\ b\cdot c\cdot d\cdot e=1$$
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