Die affine Abbildung

$$\vec{x} \rightarrow \vec{x}'=\left ( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 4 & 7 \end{array} \right ) \cdot \vec{x} + \left ( \begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array} \right )$$

bildet die Punkte

$$\vec{p}=\left ( \begin{array}{c} -1\\ 1 \end{array} \right ); \vec{q}= \left ( \begin{array}{c} 1\\3 \end{array} \right ); \vec{r}=\left ( \begin{array}{c} 2\\-1\end{array} \right ); \vec{s}=\left( \begin{array}{c}-2\\3\end{array}\right)$$

ab auf

$$\vec{p}'=\left ( \begin{array}{c} -6\\ -1 \end{array} \right ); \vec{q}= \left ( \begin{array}{c} -12\\21 \end{array} \right ); \vec{r}=\left ( \begin{array}{c} 10\\-3\end{array} \right ); \vec{s}=\left( \begin{array}{c}-18\\9\end{array}\right)$$

Gibt es eine affine Abbildung, die \vec{p},\vec{q},\vec{r} auf \vec{p}',\vec{q}',\vec{r}' abbildet, aber \vec{s} nict auf \vec{s}', sondern auf \vec{s}''=\left( \begin{array}{c}-9\\9\end{array}\right)?

Lösung

Zur bestimmung der affinen Abbildung werden \vec{s} und \vec{s}'' und zwei weitere Punkte, hier \vec{p} und \vec{r} hinzugezogen.

Über die allgemeine Form der affinen Abbildung

$$\vec{x}'=\left(\begin{array}{cc} a &b\\c&d\end{array}\right) \cdot \vec{x} + \left( \begin{array}{c}e\\f\end{array}\right)$$

ergibt sich folgendes Gleichungssytem:

$$\begin{array}{cccc}I&-a+b+e&=&-6\\II&-c+d+f&=&-1\\III&2a-b+e&=&10\\IV&2c-d+f&=&-3\\V&-2a+3b+e&=&-9\\VI&-2c+3d+f&=&9\end{array}$$

Dadurch ergeben sich diese zwei Matrizen:

$$\left(\begin{array}{ccccc}-1&1&1&|&-6\\2&-1&1&|&10\\-2&3&1&|&-9\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc}-1&1&1&|&-1\\2&-1&1&|&-3\\-2&3&1&|&9\end{array}\right)$$

Als Lösung ergibt sich dann:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1&0&0&|&\frac{13}{2}\\0&1&0&|&\frac{7}{4}\\0&0&1&|&-\frac{5}{4}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc}1&0&0&|&2\\0&1&0&|&4\\0&0&1&|&-3\end{array}\right)$$

Damit ist die gesuchte Abbildung:

$$\vec{x}'=\left(\begin{array}{cc}\frac{13}{2} & \frac{7}{4}\\2&4\end{array}\right) \cdot\vec{x} + \left( \begin{array}{c}-\frac{5}{4}\\-3\end{array}\right)$$

Setzt man den verbliebenen Punkt \vec{r} ein, erhält man aber \vec{r}'=\left(\begin{array}{c}10,5\\11\end{array}\right) anstatt \vec{r}'=\left(\begin{array}{c}10\\-3\end{array}\right). Damit ist die geforderte Bedingung nicht erfüllt. Somit gibt es die geforderte affine Abbildung nicht.