\left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,17 & 0,17 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right)

b) \left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&26\end{array}\right)

\[

\]

{$$

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• Applet zum Üben der Matrixmultiplikation
• Übungsaufgaben zur Matrizenmultiplikation

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d) \left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5 \\-3\end{array}\right) =1\cdot 2+3\cdot 0,5+5\cdot (-3)=-11,5

Beispiele: a) In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen:

c) \left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 &6&10\\0,5&1,5&2,5\end{array}\right)

b) \left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&27\end{array}\right)

b) \left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array]{cc} -2&3\\-6&27\end{array}

b) \left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array}\right)

Beispiel: a) In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen:

b) \left(\begin{array]{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\cdot \left(\begin{array]{cc} -2&7\\0&-1\end{array} = \left(\begin{array]{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3&-5\end{array}

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A^2=A\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots

Die Matrix B muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix A Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.

Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen:

Erklärung:

Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen:

Erklärung: Attach Matrixmult.jpg

Man erhält das Element in der dritten Zeile und zweiten Spalte, indem man die dritte Zeile der ersten (linken) Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix komponentenweise multipliziert und die Produkte addiert: 0,15=0 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,1

Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen: $$ A^2=A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,12 & 0,12 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right) $$

wobei c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p

Die Matrix B muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix A Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie A und so viele Spaltren wie B.

Ist A eine quadratische Matrix, so hat sie genau so viele Zeilen wie Spalten. Dann kann man A mit sich selbst multiplizieren und Matrixpotenzen bilden. $$ A^2=a\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots $$

Beispiel: In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen:

wobei c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p

$$ wobei c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n

$$ A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right) $$

{$$

$$}

A\cdot B=

Matrizenmultiplikation

Definition: Sei A eine (n,m)-Matrix und B eine (m,p)-Matrix. Dann ist das Matrixprodukt von A und B folgendermaßen erklärt: $$ A\cdotB= \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)

 \cdot 

\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right) $$