1. Die Addition ist kommutativ, d.h. A + B = B + A zum Beweis
2. Die Addition ist assoziativ, d.h. (A + B) + C = A + (B + C) zum Beweis

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Addition von Vektoren und Matrizen

Definition:

Definition:

Eigenschaften von Addition und Multiplikation

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Addition von Vektoren und Matrizen

Definition: Sind \vec a und \vec b zwei Vektoren mit jeweils n Einträgen, so definiert man die Addition von \vec a und \vec b komponentenweise:

$$ \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \\ \vdots \\ {a_n + b_n} \end{array}\right)$$

Man kann auch eine komponentenweise Addition von Matrizen definieren. Die Matrizen müssen gleiche Spalten- und Zeilenzahl besitzen.

Definition: Seien A und B zwei (n \times m)-Matrizen. Dann wird die Summe von A und B komponentenweise erklärt:

$$A + B = \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots &\ a_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm}\end{array} \right) + \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1}+ b_{n1} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \end{array} \right)$$

Eigenschaften von Addition und Multiplikation

1. Die Addition ist kommutativ, d.h. A + B = B + A \rightarrow Beweis
2. Die Addition ist assoziativ, d.h. (A + B) + C = A + (B + C) \rightarrow Beweis
3. Die Addition und Multiplikation von Matrizen sind distributiv, dh. es gilt:
   

1. Die Multiplikation ist auch assoziativ, d.h. (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\rightarrow Beweis?
2. Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ
3. Die Skalarmultiplikation ist ebenfalls distributiv: