M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v}

Eigenwerte:

Eigenvektor \vec{v}_1 zum Eigenwert \lambda_1 =2 :

Eigenvektor \vec{v}_2 zum Eigenwert \lambda_2 =3 :

$$(M-\lambda_2\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$

Bemerkung: Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch \left( 2\atop 2 \right) oder \left( -3\atop -3 \right) Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.

Ein Beispiel: Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren von M=\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)

Erwartungsgemäß hat dieses LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von $$ \vec{v}_1=\left( 1\atop 0\right)

Eigenvektor \vec{v}_2 zum Eigenwert \lambda_2 =3 :

$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -3\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{cc} -1&4\\0&0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$ Hier sind die Lösungen alle Vielfachen von $$ \vec{v}_2=\left( 4\atop 1\right) $$

Ein weiteres Beispiel: $$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$

pq- Formel anwenden: $$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$ Man erhält für den Eigenwert \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und für den Eigenwert \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2} .

EV \vec{v_1} zum EW \lambda_1 : $$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$

$$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -2\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{cc} 0&4\\0&1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$ Erwartungsgemäß hat diese LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Vielfachen von $$ \vec{v}_1=\left( 0\atop 1\right) $$

Bemerkung: Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch \left 2\atop 2 \right) oder \left -3\atop -3 \right) Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.

$$(M-\lambda_1\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$ $$\left[\left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right) -\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$

Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\qquad \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Bemerkung: Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel von eben sind auch \left 2\atop 2 oder \left -3\atop -3 Eigenvektoren zum Eigenwert 4. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.

$$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$ Da \vec{v}\not= \vec{0} kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss Null sein. Tatsächlich ist jedes \lambda, für das die Matrix \vec{v}\not= \vec{0} nicht invertierbar ist, ein Eigenwert von M.

Ein Beispiel:

Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem M\cdot \vec{v}=\lambda\cdot\vec{v}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.

Eigenvektor \vec{v}_1 zum Eigenwert \lambda_1 =2 : $$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$ $$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{0}$$ $$\left[\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}-\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$

Ein weiteres Beispiel:

EV \vec{v_1} zum EW \lambda_1 :

Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{v} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{v}\neq 0. Der Vektor \vec{v} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in \mathbb{R}, wenn gilt:

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix M

Es gilt: $$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$ Da \vec{w}=\vec{0} kann (M-\lambda\cdot E_n) nicht invertierbar sein. Ihre Determinante muss = 0 sein.

Im Beispiel: $$M-\lambda\cdot E_n = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\0&3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)$$ $$det\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\0&3-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-4\cdot0$$

Hier kann man die Nullstellen \lambda_1 =2 und \lambda_2 =3 leicht ablesen.

Hat man Eigenwerte bestimmt, löst man danach das Gleichungssystem M\cdot \vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}, um die Eigenvektoren zu bestimmen.

Beispiel: $$det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{array}\right)=(3-\lambda)\cdot(-2-\lambda)=2=\lambda^2-\lambda-8$$

pq- Formel anwenden: $$\lambda_{1/2} = \frac{1}{2} +/- \sqrt{{\frac{1}{4}}+{8}}$$ Man erhält für den Eigenwert \lambda_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{2} und für den Eigenwert \lambda_2 =-\frac{1+\sqrt{33}}{2} .

Der \vec{v_1} zu \lambda_1 : $$M\cdot\vec{v}=\lambda_1\cdot\vec{v}$$ $$(M-\lambda\cdot E_n)\cdot\vec{w}=\vec{0}$$ $$\left[\left(\begin{array}{cc} 3&2\\1&-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{33}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$$

Man erhält nun 2 lineare Gleichungssysteme, die man jeweils nach x und y auflöst.

Somit erhält man für den Vektor \vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} 1\\\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\end{array}\right)

Den Vektor \vec{v_2} zum Eigenwert \lambda_2 erhält man auf die gleiche Weise.

Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{v} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{v}\not=0. Der Vektor \vec{v} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in \mathbb{R}, wenn gilt:

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Fixgeraden bei affinen Abbildungen und stationäre Zustände bei Prozessen motivieren beide die folgende Definition:

Definition: Sei M eine (n,n)-Matrix und \vec{v} ein n-dimensionaler Vektor mit \vec{v}\not=0. Der Vektor \vec{v} heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert \lambda \in \mathbold{R}, wenn gilt:

$$ M\cdot\vec{v}= \lambda\cdot\vec{v} $$

Beispiel: M=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right) \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Hier ist M\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{cc} 1&3\\-1&5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\4\end{array}\right)=4\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right)

Also gilt: M\cdot\vec{v}=4\cdot\vec{v}

Somit ist \vec{v} Eigenvektor von M zum Eigenwert 4.

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