1.) Untersuchung einer (2,2)-Matrix A auf ihre Invertierbarkeit:
$$A=\left(\begin{array}{bb} a&b\\c&d\end{array}\right) $$
Die Inverse wird per Gausverfahren ermittelt:
$$\left( \begin {array}{ee} a&b&|&1&0\\ c&d&|&0&1 \end {array}\right) \begin{array}{aa} :a\\-c\cdot I\end{array}$$
$$\left( \begin{array}{ee} 1& \frac{b}{a}&|& \frac {1}{a}&0\\ 0& \frac {ad}{a}- \frac{bc}{a}&|& -\frac{c}{a}&1 \end{array}\right) \begin{array}{aa} -\frac{b}{a}\cdot II \\:\frac{ad-bc}{a}\end{array} $$
$$\left(\begin{array}{ee} 1&0&|& \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\ 0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}& \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
Die Inverse Matrix für A ist also:
$$I=\left(\begin{array}{bb} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\ -\frac{c}{ad-bc}& \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
Man erkennt, das in jedem Bruch ad-bc im Nenner steht. Für ad-bc=0 also ad=bc ist dieser Bruch jedoch nicht definiert.
=> Die Inverse einer Matrix kann nur gebildet werden wenn ad \not= bc ist!
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