LineareAlgebra.Matrizen04 History
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Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen.
to:
Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen. Vergleiche dazu [[Aufgaben03|Aufgabe 1]].
!!Berechnung der Inversen mit dem Gaußverfahren
Um zu einer {$(n,n)$}-Matrix {$A$} die inverse Matrix zu finden, schreibt man die Matrix zusammen mit der Einheitsmatrix in eine erweiterte Matrix:
$$ (A|E_n) $$
Auf diese wendet man das Gaußverfahren an. Ist die Matrix invertierbar, so endet das Gaußverfahren mit
$$ (E_n|A^{-1}) $$
Die Begründung dafür ist eine [[Aufgaben03|Übungsaufgabe]]
*[[http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/matrix/matrix/private/Mathe-Tools/examples/example34.html|Matrizenrechner:]] Applet zur Berechnung von Inversen
*[[Aufgaben03|Übungsaufgaben]]
*[[Aufgaben03| Übungsaufgaben]]
!!Berechnung der Inversen mit dem Gaußverfahren
Um zu einer {$(n,n)$}-Matrix {$A$} die inverse Matrix zu finden, schreibt man die Matrix zusammen mit der Einheitsmatrix in eine erweiterte Matrix:
$$ (A|E_n) $$
Auf diese wendet man das Gaußverfahren an. Ist die Matrix invertierbar, so endet das Gaußverfahren mit
$$ (E_n|A^{-1}) $$
Die Begründung dafür ist eine [[Aufgaben03|Übungsaufgabe]]
*[[http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/matrix/matrix/private/Mathe-Tools/examples/example34.html|Matrizenrechner:]] Applet zur Berechnung von Inversen
*[[Aufgaben03|Übungsaufgaben]]
*[[Aufgaben03| Übungsaufgaben]]
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Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
to:
Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: $$ A\cdot E_n=E_n\cdot A = A $$
d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
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'''Bemerkung:'''
Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
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'''Bemerkungen:'''
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
#In {$\mathbb{R}$} gibt es zu jeder Zahl {$a\neq 0$} ein multiplikatives Inverses:
#
to:
'''Bemerkung:'''
In {$\mathbb{R}$} gibt es zu jeder Zahl {$a\neq 0$} ein multiplikatives Inverses:
In {$\mathbb{R}$} gibt es zu jeder Zahl {$a\neq 0$} ein multiplikatives Inverses:
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# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{IR}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
to:
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
# In {$\mathbb{R}$} gibt es zu jeder Zahl {$a\neq 0$} ein multiplikatives Inverses:
$$ a\cdot a^{-1}=a\cdot\frac{1}{a}=1 $$
Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen.
# In {$\mathbb{R}$} gibt es zu jeder Zahl {$a\neq 0$} ein multiplikatives Inverses:
$$ a\cdot a^{-1}=a\cdot\frac{1}{a}=1 $$
Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen.
Changed lines 18-23 from:
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist{$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
to:
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{IR}$}, dort ist {$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
Changed lines 18-23 from:
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\R$}, dort ist{$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
to:
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\mathbb{R}$}, dort ist{$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
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to:
'''Bemerkungen:'''
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\R$}, dort ist{$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
# Ist {$A$} eine beliebige {$(n,n)$}-Matrix, so gilt: {$A\cdot E_n=E_n\cdot A = A$}, d.h. {$E_n$} ist das '''neutrale Element''' bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in {$\R$}, dort ist{$1$} das neutrale Element. Für jede reelle Zahl {$a$} gilt: {$a\cdot 1=1\cdot a=a$}
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1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)=\begin{pmatrix}
-0.5 0.5 0.5 \\
0.5 -0.5 0.5 \\
0.5 0.5 -0.5 \\
-0.5 0.5 0.5 \\
0.5 -0.5 0.5 \\
0.5 0.5 -0.5 \\
to:
1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
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1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
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1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)=\begin{pmatrix}
-0.5 0.5 0.5 \\
0.5 -0.5 0.5 \\
0.5 0.5 -0.5 \\
\end{pmatrix}
-0.5 0.5 0.5 \\
0.5 -0.5 0.5 \\
0.5 0.5 -0.5 \\
\end{pmatrix}
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%right% [[Matrizen03]]<<>>[[Matrizen05]]
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%right% [[Matrizen03|<<]] Matrizen04 [[Matrizen05|>>]]
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%right% [[Matrizen03|<<]] Matrizen04 [[Matrizen05|>>]]
Added line 3:
Changed lines 7-8 from:
1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots& & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
$$
$$
to:
1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
$$
'''Definition:''' Sei {$A$} eine {$(n,n)$}-Matrix. Existiert eine {$(n,n)$}-Matrix {$B$} mit
$$ A\cdot B = B \cdot A = E_n \; ,
$$
so nennt man {$B$} die '''inverse Matrix''' zu {$A$} und schreibt {$B=A^{-1}$}.
$$
'''Definition:''' Sei {$A$} eine {$(n,n)$}-Matrix. Existiert eine {$(n,n)$}-Matrix {$B$} mit
$$ A\cdot B = B \cdot A = E_n \; ,
$$
so nennt man {$B$} die '''inverse Matrix''' zu {$A$} und schreibt {$B=A^{-1}$}.
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1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\dots & \vdots \\
& 0 \\
0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
to:
1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots& & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
Changed lines 6-7 from:
1 & 0 &\cdots& 0 \\
0 & 1 &\dots & \vdots \\
0 & 1 &\dots & \vdots \\
to:
1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\dots & \vdots \\
Changed lines 6-8 from:
1 & 0 &\cdots& 0\\
0 & 1 &\dots & \vdots\\
\vdots& & & 0\\
0 & 1 &\dots & \vdots\\
\vdots& & & 0\\
to:
1 & 0 &\cdots& 0 \\
0 & 1 &\dots & \vdots \\
\vdots& & & 0 \\
0 & 1 &\dots & \vdots \\
\vdots& & & 0 \\
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0 & \cdots& 0 &1 \end{array}
to:
0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)
Added lines 1-10:
!!Einheitsmatrix und Inverse
'''Definition:''' Eine quadratische {$(n,n)$}-Matrix, deren Elemente in der sogenannten Hauptdiagonalen alle 1 sind und deren sonstigen Elemente alle 0 sind heißt '''Einheitsmatrix'''. Die Einheitsmatrix wird mit {$E_n$} bezeichnet.
$$
E_n=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 &\cdots& 0\\
0 & 1 &\dots & \vdots\\
\vdots& & & 0\\
0 & \cdots& 0 &1 \end{array}
$$
'''Definition:''' Eine quadratische {$(n,n)$}-Matrix, deren Elemente in der sogenannten Hauptdiagonalen alle 1 sind und deren sonstigen Elemente alle 0 sind heißt '''Einheitsmatrix'''. Die Einheitsmatrix wird mit {$E_n$} bezeichnet.
$$
E_n=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 &\cdots& 0\\
0 & 1 &\dots & \vdots\\
\vdots& & & 0\\
0 & \cdots& 0 &1 \end{array}
$$