Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen. Vergleiche dazu Aufgabe 1.

Berechnung der Inversen mit dem Gaußverfahren

Um zu einer (n,n)-Matrix A die inverse Matrix zu finden, schreibt man die Matrix zusammen mit der Einheitsmatrix in eine erweiterte Matrix: $$ (A|E_n) $$ Auf diese wendet man das Gaußverfahren an. Ist die Matrix invertierbar, so endet das Gaußverfahren mit $$ (E_n|A^{-1}) $$ Die Begründung dafür ist eine Übungsaufgabe

• Matrizenrechner: Applet zur Berechnung von Inversen
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Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: $$ A\cdot E_n=E_n\cdot A = A $$ d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{R}, dort ist 1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a

Bemerkung: Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: A\cdot E_n=E_n\cdot A = A, d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{R}, dort ist 1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a

Bemerkung: In \mathbb{R} gibt es zu jeder Zahl a\neq 0 ein multiplikatives Inverses:

1. Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: A\cdot E_n=E_n\cdot A = A, d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{R}, dort ist 1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a
2. In \mathbb{R} gibt es zu jeder Zahl a\neq 0 ein multiplikatives Inverses:

$$ a\cdot a^{-1}=a\cdot\frac{1}{a}=1 $$ Dies ist bei Matrizen nicht der Fall! Hier gibt es neben der Nullmatrix weitere Matrizen, die kein multiplikatives Inverses besitzen.

1. Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: A\cdot E_n=E_n\cdot A = A, d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{IR}, dort ist 1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a

1. Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: A\cdot E_n=E_n\cdot A = A, d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \mathbb{R}, dort ist1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a

Bemerkungen:

1. Ist A eine beliebige (n,n)-Matrix, so gilt: A\cdot E_n=E_n\cdot A = A, d.h. E_n ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Dies ist analog zur Multiplikation in \R, dort ist1 das neutrale Element. Für jede reelle Zahl a gilt: a\cdot 1=1\cdot a=a

1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)

1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)=\begin{pmatrix} -0.5 0.5 0.5
0.5 -0.5 0.5
0.5 0.5 -0.5
\end{pmatrix}

<< Matrizen04 >>

<< Matrizen04 >>

Matrizen03<<>>Matrizen05

1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right) $$

Definition: Sei A eine (n,n)-Matrix. Existiert eine (n,n)-Matrix B mit $$ A\cdot B = B \cdot A = E_n \; , $$ so nennt man B die inverse Matrix zu A und schreibt B=A^{-1}.

1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\ddots & \vdots \\ \vdots& & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)

1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & 1 &\dots & \vdots \\

1 & 0 &\cdots& 0
0 & 1 &\dots & \vdots
\vdots& & & 0 \\

0 & \cdots& 0 &1 \end{array}\right)

Einheitsmatrix und Inverse

Definition: Eine quadratische (n,n)-Matrix, deren Elemente in der sogenannten Hauptdiagonalen alle 1 sind und deren sonstigen Elemente alle 0 sind heißt Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix wird mit E_n bezeichnet. $$ E_n=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 &\cdots& 0
0 & 1 &\dots & \vdots
\vdots& & & 0
0 & \cdots& 0 &1 \end{array} $$