LineareAlgebra.Matrizen08 History
Hide minor edits - Show changes to output
Changed line 36 from:
b) Die Menge {$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\}$} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem
to:
b) Die Menge {$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\}$} ist linear unabhängig, denn das Gleichungssystem
Changed line 31 from:
besitzt aus nichttriviale Lösungen wie etwa
to:
besitzt auch nichttriviale Lösungen, wie etwa
Changed line 33 from:
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
to:
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right).
Changed lines 36-40 from:
to:
b) Die Menge {$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\}$} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem
$$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
Hat die ''eindeutig bestimmte'' einzige Lösung {$r_1=r_2=r_3=0$}.
$$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
Hat die ''eindeutig bestimmte'' einzige Lösung {$r_1=r_2=r_3=0$}.
Changed line 27 from:
'''Beispiele:''' a) Die Menge {$\\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right)\right\}$} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem
to:
'''Beispiele:''' a) Die Menge {$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right)\right\}$} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem
Changed lines 27-29 from:
to:
'''Beispiele:''' a) Die Menge {$\\left\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right)\right\}$} ist linear abhängig, denn das Gleichungssystem
$$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
besitzt aus nichttriviale Lösungen wie etwa
$$ 2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) -3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) -1\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
$$ r_1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) +r_2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) +r_3\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
besitzt aus nichttriviale Lösungen wie etwa
$$ 2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) -3\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right) -1\cdot\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$$
Changed line 21 from:
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ {\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} }$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
to:
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ \{\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} \}$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
Added lines 18-20:
Die Bearbeitung von [[Aufgaben03|Aufgabe 5]] motiviert die folgende Definition:
Changed lines 16-17 from:
b)
to:
b) Sei {$\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)$} und {$\vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\0\end{array}\right)$}. Dann ist {$\left(\begin{array}{c}2\\6\\3\end{array}\right)$} '''keine''' Linearkombination von {$\vec{v}_1$} und {$\vec{v}_2$}.
Changed lines 10-11 from:
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ {\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} }$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
$$\vec{0}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n
to:
'''Beispiele:''' a) Sei {$\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$} und {$\vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right)$}. Dann ist {$\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right)$} eine Linearkombination von {$\vec{v}_1$} und {$\vec{v}_2$}, denn
$$\left(\begin{array}{c}2\\10\\3\end{array}\right) =
2\cdot\vec{v}_1 +(-3)\cdot\vec{v}_2 =2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)-3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right)
Added lines 15-20:
b)
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ {\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} }$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
$$\vec{0}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n
$$
Changed lines 2-3 from:
!!Lineare Unabhängigkeit
to:
!!Lineare Unabhängigkeit und Linearkombinationen
Changed lines 7-8 from:
eine '''Linearkombination''' von {$\vec{v_}1, \dots \vec{v}_n$}.
to:
eine '''Linearkombination''' von {$\vec{v}_1, \dots \vec{v}_n$}.
Changed line 5 from:
$$\vec{x}=r_1\vec{v_1}+\dots + r_n\vec{v_n}=\sum_{i=1}^n r_i\vec{v_i}
to:
$$\vec{x}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n=\sum_{i=1}^n r_i\vec{v}_i
Changed lines 7-14 from:
to:
eine '''Linearkombination''' von {$\vec{v_}1, \dots \vec{v}_n$}.
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ {\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} }$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
$$\vec{0}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n
$$
notwendig folgt, dass {$r_1=r_2=\dots =r_n=0$}.
Ist die Menge nicht linear unabhängig, so nennt man sie '''linear abhängig'''.
'''Definition:''' Man nennt eine Menge von Vektoren {$ {\vec{v_1}, \dots \vec{v_n} }$} '''linear unabhängig''', wenn man sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann, d.h. wenn aus
$$\vec{0}=r_1\vec{v}_1+\dots + r_n\vec{v}_n
$$
notwendig folgt, dass {$r_1=r_2=\dots =r_n=0$}.
Ist die Menge nicht linear unabhängig, so nennt man sie '''linear abhängig'''.
Added lines 1-15:
%right% [[Matrizen07|<<]] Matrizen08 [[Matrizen09|>>]]
!!Lineare Unabhängigkeit
'''Definition:''' Seien {$\vec{v_1}, \dots \vec{v_n}$} Vektoren gleicher Dimension und {$r_1,\dots r_n$} reelle Zahlen. Dann heißt der Vektor
$$\vec{x}=r_1\vec{v_1}+\dots + r_n\vec{v_n}=\sum_{i=1}^n r_i\vec{v_i}
$$
'''Linearkombination''' von {$\vec{v_1}, \dots \vec{v_n}$}.
%right% [[Matrizen07|<<]] Matrizen08 [[Matrizen09|>>]]
!!Lineare Unabhängigkeit
'''Definition:''' Seien {$\vec{v_1}, \dots \vec{v_n}$} Vektoren gleicher Dimension und {$r_1,\dots r_n$} reelle Zahlen. Dann heißt der Vektor
$$\vec{x}=r_1\vec{v_1}+\dots + r_n\vec{v_n}=\sum_{i=1}^n r_i\vec{v_i}
$$
'''Linearkombination''' von {$\vec{v_1}, \dots \vec{v_n}$}.
%right% [[Matrizen07|<<]] Matrizen08 [[Matrizen09|>>]]